MP Board Class 12th Physics Important Questions Chapter 9(C) गोलीया पृष्ट से अपवर्तन

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MP Board Class 12th Physics Important Questions Chapter 9(C) गोलीया पृष्ट से अपवर्तन

अति लघु उत्तरीय प्रश्न 

प्रश्न 1.
एक अवतल दर्पण और उत्तल लेंस को पानी में डुबाने पर उनकी फोकस-दूरियों में क्या परिवर्तन होगा?
उत्तर:
अवतल दर्पण की फोकस दूरी अपरिवर्तित रहेगी, किन्तु उत्तल लेंस की फोकस दूरी बढ जायेगी।

प्रश्न 2.
क्या लेंस का उपयोग उस माध्यम में किया जा सकता है, जिससे यह बना है ?
उत्तर:
नहीं।

प्रश्न 3.
एक वस्तु अवतल लेंस के फोकस पर रखी है उसका प्रतिबिम्ब कहाँ बनेगा?
उत्तर:
प्रतिबिम्ब फोकस और प्रकाशिक केन्द्र के बीच बनेगा।

प्रश्न 4.
लेंस में दो फोकस बिन्दु होते हैं किन्तु गोलीय दर्पण में केवल एक, क्यों ?
उत्तर:
लेंस में दो वक्रता पृष्ठ होते है प्रत्येक पृष्ठ का एक फोकस होता है अत: लेंस के दोनों ओर फोकस बिन्दु होते हैं। गोलीय दर्पण में एक ही वक्रता पृष्ठ होता है अत: उसका एक ही फोकस होता है।

प्रश्न 5.
उत्तल लेंस का उपयोग आवर्धक की भाँति किस प्रकार करते हैं ?
उत्तर:
यदि कोई वस्तु उत्तल लेंस के सामने फोकस और प्रकाश केन्द्र के बीच स्थित हो, तो उसका सीधा तथा आवर्धित प्रतिबिम्ब बनता है। अत: वस्तु को उत्तल लेंस के सामने फोकस व प्रकाश केन्द्र के बीच रखकर बड़े आकार में देखा जा सकता है।

प्रश्न 6.
किस लेंस की क्षमता धनात्मक होती है ?
उत्तर:
उत्तल लेंस।

प्रश्न 7.
किस लेंस की क्षमता ऋणात्मक होती है ?
उत्तर:
अवतल लेंस।

प्रश्न 8.
लेंस की क्षमता वायु में अधिक होती है या जल में ?
उत्तर:
वायु में, क्योंकि जल में डुबाने पर उसकी फोकस दूरी बढ़ जाती है जिससे क्षमता कम हो जाती है।

प्रश्न 9.
फ्यूज बल्ब में पानी भरकर देखने पर किताब के अक्षर बड़े दिखाई देते हैं, क्यों?
उत्तर:
बल्ब की दीवारें उभरी हुई होती हैं। अतः पानी डालने पर वह उत्तल लेंस की तरह कार्य करने लगता है। अतः अक्षर आवर्धित होकर बड़े दिखाई देते हैं।

प्रश्न 10.
किसी लेंस की फोकस दूरी अपवर्तनांक से किस प्रकार सम्बन्धित है ?
उत्तर:
किसी लेंस की फोकस दूरी अपवर्तनांक से निम्न सूत्र के अनुसार सम्बन्धित है
सूत्र : \(\frac{1}{f}=(\mu-1)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)\)
इस सूत्र के अनुसार अपवर्तनांक ” का मान बढ़ने पर लेंस की फोकस दूरी कम हो जाती है।

प्रश्न 11.
काँच के आयताकार गुटके की फोकस दूरी और क्षमता कितनी होती है ?
उत्तर:
काँच के गुटके की फोकस दूरी अनंत होती है तथा क्षमता
P = \(\frac{1}{f}=\frac{1}{\infty}\)
= 0
अर्थात् क्षमता शून्य होती है।

प्रश्न 12.
एक लेंस को पारदर्शी द्रव में डुबाने पर दिखाई नहीं देता है। ऐसा किस परिस्थिति में संभव है ?
उत्तर:
जब लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक द्रव के अपवर्तनांक के बराबर है।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
लेंस के लिए निम्न को परिभाषित कीजिए-
(i) प्रकाश केन्द्र,
(ii) प्रथम एवं द्वितीय मुख्य फोकस,
(iii) संयुग्मी फोकस।
उत्तर:
(i) प्रकाश केन्द्र – प्रकाश केन्द्र मुख्य अक्ष पर स्थित वह बिन्दु होता है जिसमें से होकर यदि प्रकाश लेंस से गुजरे तो निर्गत किरण आपतित किरण के समान्तर होती है।

(ii) प्रथम मुख्य फोकस – मुख्य अक्ष पर स्थित वह बिन्दु जिससे होकर आपतित होने वाली किरणें (उत्तल लेंस में) या जिसकी दिशा में आपतित होने वाली किरणें लेंस से अपवर्तन के पश्चात् मुख्य अक्ष के समान्तर हो जाती हैं लेंस का प्रथम मुख्य फोकस कहलाता है। चित्र में F₁ प्रथम मुख्य फोकस है।

द्वितीय मुख्य फोकस – मुख्य अक्ष के समान्तर आपतित किरणें लेंस से अपवर्तन के पश्चात् मुख्य अक्ष के जिस बिन्दु पर मिलती हैं (उत्तल लेंस में) या मुख्य अक्ष के जिस बिन्दु पर फैलती हुई प्रतीत होती हैं (अवतल लेंस में), उसे लेंस का द्वितीय मुख्य फोकस कहते हैं। चित्र में F₂ द्वितीय मुख्य फोकस है। द्वितीय मुख्य फोकस को लेंस का मुख्य फोकस भी कहते हैं।

(iii) संयुग्मी फोकस – लेंस के मुख्य अक्ष पर ऐसे बिन्दु युग्म होते हैं, जिनमें से एक बिन्दु पर वस्तु को रखने पर उसका प्रतिबिम्ब दूसरे बिन्दु पर बनता है तथा वस्तु को दूसरे बिन्दु पर रखने पर उसका प्रतिबिम्ब पहले बिन्दु पर बनता है। ऐसे बिन्दु युग्म को संयुग्मी फोकस कहते हैं।

प्रश्न 2.
समझाइए कि किस तरह उत्तल लेंस, अभिसारी लेंस तथा अवतल लेंस, अपसारी लेंस की तरह कार्य करता है?
उत्तर:
उत्तल लेंस किरणों को अभिसरित (एक बिन्दु पर केन्द्रित) कर देता है। अतः उत्तल लेंस को अभिसारी लेंस कहते हैं।
अवतल लेंस किरणों को अपसरित कर देता है (फैला देता है)। ये किरणें एक बिन्दु से आती हुई प्रतीत होती हैं। अत: अवतल लेंस को अपसारी लेंस भी कहते हैं।

इन तथ्यों को स्पष्ट करने के लिए यह मानते हैं कि लेंस छोटे-छोटे प्रिज्मों से मिलकर बना है, जिनका कोण निरन्तर बदलते रहता है। प्रिज्म में यह गुण होता है कि वह किरणों को आधार की ओर मोड़ देता है।

चित्र – उत्तल लेंस का अभिसारी तथा अवतल लेंस का अपसारी लेंस की तरह कार्य करना
उत्तल लेंस में प्रत्येक प्रिज्म का आधार लेंस के केन्द्रीय भाग की ओर होता है, अतः प्रिज्म पर आपतित समान्तर किरणें लेंस से अपवर्तन के पश्चात् एक बिन्दु पर मिल जाती हैं [चित्र (a)] |

अवतल लेंस में प्रत्येक प्रिज्म का आधार लेंस के केन्द्रीय भाग के ऊपर की ओर होता है। अतः प्रिज्म पर आपतित समान्तर किरणें लेंस से अपवर्तन के पश्चात् फैल जाती हैं |चित्र (b)|

प्रश्न 3.
लेंसों के लिए चिन्हों की निर्देशांक बिन्दु परिपाटी क्या है ? इस परिपाटी के अनुसार किस लेंस की फोकस दूरी धनात्मक एवं किस लेंस की फोकस दूरी ऋणात्मक होती है ?
उत्तर:
लेंसों के लिए चिन्हों की निर्देशांक बिन्दु परिपाटी निम्न हैं-
(i) प्रकाश किरणें सदैव बायीं ओर से आपतित ली जाती हैं।
(ii) आपतित किरण की दिशा में नापी गई दूरियाँ धनात्मक तथा विपरीत दिशा में नापी गई दूरियाँ ऋणात्मक होती हैं।
(iii) मुख्य अक्ष के लम्बवत् वस्तु तथा प्रतिबिम्ब की लम्बाइयाँ अक्ष के ऊपर की ओर धनात्मक तथा नीचे की ओर ऋणात्मक होती हैं।

निर्देशांक बिन्दु परिपाटी के अनुसार, उत्तल लेंस की फोकस दूरी धनात्मक तथा अवतल लेंस की फोकस दूरी ऋणात्मक होती है। इसके अतिरिक्त वस्तु की दूरी u ऋणात्मक, आभासी प्रतिबिम्ब के लिए ν ऋणात्मक तथा वास्तविक प्रतिबिम्ब के लिए ν धनात्मक होती है।

प्रश्न 4.
एक वस्तु उत्तल लेंस के सामने प्रकाश केन्द्र और फोकस के बीच स्थित है। उसके प्रतिबिम्ब की स्थिति, आकार और प्रकृति चित्र खींचकर समझाइए।
उत्तर:

चित्र के अनुसार, एक वस्तु मुख्य अक्ष के लम्बवत् फोकस F और प्रकाश केन्द्र O के बीच रखी है। A से चलने वाली एक किरण मुख्य अक्ष के समान्तर आपतित होती है और अपवर्तन के पश्चात् मुख्य फोकस F से होकर जाती है। दूसरी किरण प्रकाश केन्द्र O में से सीधी निकल जाती है। दोनों अपवर्तित किरणें पीछे बढ़ाने पर A’ पर काटती हैं। A, A का आभासी प्रतिबिम्ब B F है। A से मुख्य अक्ष पर A’, B’ लम्ब डालते हैं । A’B’ वस्तु AB का आभासी प्रतिबिम्ब है।

इस प्रकार वस्तु का प्रतिबिम्ब (a) वस्तु की ओर, (b) वस्तु से बड़ा और (c) सीधा तथा काल्पनिक (या आभासी) बनेगा।

प्रश्न 5.
समान फोकस दूरी के एक अवतल लेंस और उत्तल लेंस को सम्पर्क में रखकर लेंस युग्म बनाया गया। इस युग्म की फोकस दूरी और क्षमता कितनी होगी ?
उत्तर:
सूत्र में \(\frac{1}{F}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}\) में = f₁ = -f तथा f₂ = f रखने पर,
\(\frac{1}{\mathrm{~F}}=-\frac{1}{f}+\frac{1}{f}\) = 0
अतः F = \(\frac{1}{0}\) = अनन्त
अब क्षमता P = \(\frac{100}{f}=\frac{100}{\infty}\) = शन्य।

प्रश्न 6.
लेंस के आवर्धन का क्या अभिप्राय है ? इसका सूत्र लिखिए।
उत्तर:
लेंस के मुख्य अक्ष के लम्बवत् प्रतिबिम्ब की लम्बाई I तथा वस्तु की लम्बाई O के अनुपात को आवर्धन कहते हैं।

प्रश्न 7.
जब कोई वस्तु उत्तल लेंस के समक्ष फोकस पर रखी जाती है, प्रतिबिम्ब के बनने का किरण आरेख खींचिये।
उत्तर:

वस्तु का प्रतिबिम्ब अनन्त पर वास्तविक और वस्तु से बहुत बड़ा होता है।

प्रश्न 8.
रैखिक आवर्धन किसे कहते हैं ?
उत्तल
लेंस के लिए दर्शाइये, \(\frac{\mathbf{I}}{\mathbf{O}}=\frac{\boldsymbol{v}}{\boldsymbol{u}}\) जहाँ संकेतों के सामान्य अर्थ हैं।

अथवा

रैखिक आवर्धन किसे कहते हैं ? उत्तल लेंस के लिए रैखिक आवर्धन का व्यंजक प्राप्त कीजिए।
उत्तर:
लेंस द्वारा बने प्रतिबिम्ब की लम्बाई (I) और वस्तु की लम्बाई के अनुपात को रैखिक आवर्धन कहते हैं।
अतः रैखिक आवर्धन = \(\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{O}}\)
मानलो एक उत्तल लेंस L के सम्मुख u दूरी पर एक वस्तु AB स्थित है। इसका उत्तल लेंस द्वारा लेंस के दूसरी ओर प्रतिबिम्ब AB’ लेंस से v दूरी पर बनता है। वस्तु की लम्बाई AB तथा प्रतिबिम्ब की लम्बाई A’B’ है।

ΔABO और A’B’O समरूप हैं।
अतः \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OB}^{\prime}}\)
या \(\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}{\mathrm{OB}^{\prime}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OB}}\)
किन्तु A’B’ = -I, AB = O
OB’ = ν, OB = -u
अतः \(\frac{-\mathrm{I}}{v}=\frac{\mathrm{O}}{-u}\)
या \(\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{O}}=\frac{v}{u}\)
अत: रैखिक आवर्धन m = \(\frac{v}{u}\)

प्रश्न 9.
किसी लेंस की फोकस दूरी किन-किन कारकों पर निर्भर करती है और किस प्रकार ?
उत्तर:
सूत्र \(\frac{1}{f}=(\mu-1)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)\) से स्पष्ट है कि किसी लेंस की फोकस दूरी निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करती है।

(i) माध्यम के अपवर्तनांक पर – लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक अधिक होने पर फोकस दूरी कम और अपवर्तनांक कम होने पर फोकस दूरी अधिक होती है।
(ii) प्रयुक्त प्रकाश के रंग पर – बैंगनी रंग के लिए अपवर्तनांक अधिक एवं लाल रंग के लिए अपवर्तनांक कम होता है। अत: बैंगनी रंग के प्रकाश के लिए लेंस की फोकस दूरी कम तथा लाल रंग के प्रकाश के लिए फोकस दूरी अधिक होती है।
(iii) पृष्ठों की वक्रता – त्रिज्या पर-वक्रता त्रिज्या कम होने पर फोकस दूरी कम तथा वक्रता-त्रिज्या अधिक होने पर फोकस दूरी अधिक होती है। स्पष्ट है कि पतले लेंस की फोकस दूरी अधिक एवं मोटे लेंस की फोकस दूरी कम होगी।
(iv) लेंस के दोनों ओर के माध्यम पर-लेंस को किसी द्रव में डुबाने पर उसकी फोकस दूरी बढ़ जाती है।

प्रश्न 10.
अवतल लेंस के द्वारा एक वस्तु के प्रतिबिम्ब बनने को स्पष्ट रेखाचित्र द्वारा समझाइए।
उत्तर:

अवतल लेंस द्वारा प्रतिबिम्ब का बनना – मानलो चित्र के अनुसार एक वस्तु AB अवतल लेंस के सामने मुख्य अक्ष के लम्बवत् रखी है। A से चलने वाली एक किरण मुख्य अक्ष के समान्तर आपतित होती है और अपवर्तन के पश्चात् F से होकर आती हुई प्रतीत होती है। दूसरी किरण प्रकाश-केन्द्र में
O से होकर सीधी निकल जाती है। दोनों अपवर्तित किरणें आगे नहीं काटतीं बल्कि पीछे बढ़ाने पर A’ पर काटती हैं। A,A का आभासी प्रतिबिम्ब होगा। A से मुख्य अक्ष पर A’B’ लम्ब डालते हैं।

A’B’, ही वस्तु AB का आभासी प्रतिबिम्ब है।
इस प्रकार, वस्तु का प्रतिबिम्ब (a) उसी ओर फोकस F तथा प्रकाश-केन्द्र O के बीच, (b) वस्तु से छोटा और (c) सीधा तथा आभासी बनेगा।

प्रश्न 11.
कारण दीजिये कि लेंस को द्रव में डुबोने पर उसकी फोकस दूरी बढ़ जाती है, क्यों?
उत्तर:
लेंस निर्माता के सूत्र से यदि लेंस की वायु में फोकस दूरी f_a हो, तो


उपरोक्त समी. (3) के अनुसार
f₁ > f_a
अतः किसी लेंस को द्रव में डुबोने पर उसकी फोकस दूरी बढ़ जाती है।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
लेंसों के द्वारा प्रतिबिम्ब की रचना के नियम क्या हैं ? चित्र खींचकर समझाइए।
उत्तर:
लेंसों के द्वारा प्रतिबिज की रचना के नियम निम्न हैं-
(i) जो किरण मुख्य अक्ष के समान्तर आपतित होती है वह लेंस से अपवर्तन के बाद मुख्य फोकस से होकर जाती है (उत्तल लेंस में) या मुख्य फोकस से होकर आती हुई प्रतीत होती है (अवतल लेंस में)।

(ii) जो किरण प्रथम मुख्य फोकस से होकर आपतित होती है (उत्तल लेंस में) या प्रथम मुख्य फोकस की दिशा में आपतित होती है (अवतल लेंस में) वह किरण अपवर्तन के पश्चात् मुख्य अक्ष के समान्तर हो जाती है।

(iii) जो किरण प्रकाश केन्द्र में से होकर जाती है, वह बिना विचलन के सीधी चली जाती है।

प्रश्न 2.
किसी लेंस को द्रव में डुबाने पर उसकी फोकस दूरी तथा प्रकृति पर क्या प्रभाव पड़ता है ? आवश्यक सूत्र स्थापित कीजिए।

अथवा

क्या होता है जब लेंस को ऐसे पारदर्शी द्रव में डूबा दिया जाता है जिसका अपवर्तनांक लेंस के पदार्थ के अपवर्तनांक के बराबर होता है ?

उत्तर:
मानलो किसी लेंस की वायु में फोकस दूरी f_a है। उसके पदार्थ का अपवर्तनांक _a μ _g, तथा उसके वक्र तलों की वक्रता त्रिज्याएँ क्रमश: R₁ व R₂ हैं। तब

अतः समी. (1) से, f _t> f_a
इस प्रकार किसी लेंस को द्रव में डुबाने पर उसकी फोकस दूरी सदैव बढ़ जाती है।

प्रकृति पर प्रभाव-
स्थिति 1. यदि _aμ_g > _aμ_t तो \(\frac{a^{\mu}_{g}}{{ }_{a} \mu_{l}}\) – 1 धनात्मक होगा।
अतः f_a और f_l के चिन्ह भी समान होंगे।
इस प्रकार लेंस को उसके अपवर्तनांक से कम अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबाने पर उसकी प्रकृति में कोई परिवर्तन नहीं होता।

स्थिति 2. यदि _aμ_g > _aμ_l तो \(\frac{a^{\mu}_{g}}{{ }_{a} \mu_{l}}\) – 1 ऋणात्मक होगा।
अत:, और f के चिन्ह परस्पर विपरीत होंगे। इस प्रकार लेंस को उसके अपवर्तनांक से अधिक अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबाने पर उसकी प्रकृति बदल जाती है अर्थात् उत्तल लेंस अवतल लेंस की तरह कार्य करने लगता है।

स्थिति 3. यदि _aμ_g = _aμ_l तो \(\frac{a^{\mu}_{g}}{{ }_{a} \mu_{l}}\) -1 = 0 ऋणात्मक होगा।
इस प्रकार \(\frac{f_{l}}{f_{a}}=\frac{a \mu_{g}-1}{0}\) = ∞
या f_t = ∞

इस प्रकार लेंस को उसके अपवर्तनांक के समान अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबाने पर उसकी फोकस दूरी अनन्त हो जाती है अर्थात् लेंस काँच की समतल प्लेट की तरह कार्य करने लगता है।

प्रश्न 3.
अवतल सतह से अपवर्तन का सूत्र \(\frac{\mu}{v}-\frac{1}{u}=\frac{\mu-1}{R}\) निगमित कीजिये।

अथवा

गोलीय सतह से प्रकाश के अपवर्तन के लिए सूत्र स्थापित कीजिये
\(\frac{\mu}{v}-\frac{1}{u}=\frac{\mu-1}{R}\)
उत्तर:
चित्रानुसार माना एक अवतल अपवर्तन सतह के मुख्य अक्ष पर एक बिन्दु वस्तु O रखी है, जिसका आभासी प्रतिबिम्ब I पर प्राप्त होता है।

चित्रानुसार, आपतन कोण = ∠OMC = i
अपवर्तन कोण = ∠LMN = ∠IMC = r
माना ∠MOC = α ∠MIC = β तथा ∠MCP = θ
स्नेल के नियमानुसार-
μ = \(\frac{\sin i}{\sin r}\)
∵ i वि r के मान बहुत कम होते हैं, अत: उन्हें रेडियन में मापने पर,
sin i ~i तथा sin r ~r
∴ μ = \(\frac{i}{r}\) ………..(1)
या i = μr
ΔOMC में, θ = i + α
या i = θ – α
तथा ΔIMC में, θ = r + β
या r = θ – β
i तथा r के मान समी. (1) में रखने पर,
θ – α = μ(θ – β) …………(2)
अब कोण   के अनुसार,
α = \(\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{PO}}\) ,β = \(\frac{\text { PM }}{\text { PI }}\) तथा θ = \(\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{PC}}\)
समी. (2) में मान रखने पर,
\(\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{PC}}-\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{PO}}=\mu\left(\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{PC}}-\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{PI}}\right)\)
या \(\frac{1}{\mathrm{PC}}-\frac{1}{\mathrm{PO}}=\mu\left(\frac{1}{\mathrm{PC}}-\frac{1}{\mathrm{PI}}\right)\)
परन्तु PO = -u, PC = – R तथा PI = -v
समी. (2) में मान रखने पर,

यही अवतल पृष्ठ से अपवर्तन का सूत्र है।

प्रश्न 4.
दो लेंस जिनकी फोकस दूरियाँ f₁ और f₂ हैं सम्पर्क में रखे गये हैं। यदि इस प्रकार निर्मित संयुक्त लेंस की फोकस दूरी F हो तो सिद्ध कीजिए कि-
\(\frac{1}{F}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}\)

अथवा

परस्पर सम्पर्क में रखे दो पतले लेंसों के संयोग की फोकस दूरी का सूत्र स्थापित कीजिए।
उत्तर:
मानलो L₁ और L₂ दो लेंस हैं जिनकी फोकस दूरियाँ क्रमशः f₁ और f₂हैं। दोनों लेंस सम्पर्क में रखे गये हैं। मुख्य अक्ष पर बिन्दु आकार की कोई वस्तु O रखी हुई है। लेंस L₁द्वारा वस्तु O का प्रतिबिम्ब I₁ पर बनता है। I₁ दूसरे लेंस L₂ के लिए वस्तु का कार्य करता है। इस प्रकार अन्तिम प्रतिबिम्ब I पर बनता है ।

मानलो लेंस से वस्तु O की दूरी = u, प्रतिबिम्ब I₁ की
दूरी = ν₁ तथा प्रतिबिम्ब I की दूरी = ν, लेंस L₁ के द्वारा O का प्रतिबिम्ब I₁ पर बनता है। अतः

लेंस सूत्र \(\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\) से.
\(\frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{v_{1}}-\frac{1}{u}\) ………….(1)
दूसरे लेंस L₂ द्वारा I₁ का प्रतिबिम्ब I पर बनता है।
अतः
\(\frac{1}{f_{2}}=\frac{1}{v}-\frac{1}{v_{1}}\) ………….(2)
समीकरण (1) और (2) से,
\(\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}-\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\) …………..(3)
परन्तु संयुक्त लेंस द्वारा O का प्रतिबिम्ब I पर बनता है।
∴ \(\frac{1}{F}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\) ………..(4)
जहाँ F = संयुक्त लेंस की फोकस-दूरी।
समी. (3) और (4) से,
\(\frac{1}{F}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}\) ……………(5)
यही अभीष्ट व्यंजक है।

प्रश्न 5.
संयुग्मी फोकस किसे कहते हैं ? किसी लेंस के लिए सिद्ध कीजिए कि
\(\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\)

अथवा

लेंस सूत्र \(\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\) की व्युत्पत्ति कीजिए।

अथवा

उत्तल लेंस के लिए u, ν और f में सम्बन्ध बताने वाला व्यंजक \(\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\) व्युत्पन्न कीजिए।
उत्तर:
संयुग्मी फोकस – लेंस के मुख्य अक्ष पर ऐसे बिन्दु युग्म होते हैं, जिनमें से एक बिन्दु पर वस्तु को रखने पर उसका प्रतिबिम्ब दूसरे बिन्दु पर बनता है तथा वस्तु को दूसरे बिन्दु पर रखने पर उसका प्रतिबिम्ब पहले बिन्दु पर बनता है, ऐसे बिन्दु युग्म को संयुग्मी फोकस कहते हैं।

मानलो OL एक उत्तल लेंस है। उसके सामने मुख्य अक्ष के लम्बवत् रखी वस्तु AB का वास्तविक प्रतिबिम्ब लेंस के दूसरी ओर A’B’ पर बनता है।
तब OB = – u, OF = f तथा OB’ = ν
ΔAOB और ΔAOB’ समरूप हैं।
∴ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OB}^{\prime}}\) ………..(1)

इसी तरह ΔLOF तथा ΔA’B’F समरूप हैं।
∴ \(\frac{\mathrm{OL}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}=\frac{\mathrm{OF}}{\mathrm{FB}^{\prime}}\)
परन्तु OL = AB
अतः \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}=\frac{\mathrm{OF}}{\mathrm{FB}^{\prime}}\) …………(2)
समी. (1) और (2) से,

प्रश्न 6.
किसी उत्तल गोलीय पृष्ठ के लिए निम्न सूत्र का निगमन कीजिए-
\(\frac{\mu-1}{\mathbf{R}}=\frac{\mu}{v}-\frac{1}{u}\)
जहाँ संकेतों के सामान्य अर्थ हैं।
उत्तर:
मानलो APB उत्तल गोलीय पृष्ठ का मुख्य परिच्छेद P है। P उसका ध्रुव तथा C वक्रता-केन्द्र है। इसके बायीं ओर वायु तथा दायीं ओर μ अपवर्तनांक का कोई माध्यम है।

इसके मुख्य अक्ष पर बिन्दु आकार की कोई वस्तु O रखी है, जिसका अपवर्तनांक पृष्ठ द्वारा वास्तविक प्रतिबिम्ब I पर बनता है।
चित्रानुसार, आपतन कोण = ∠OML = i तथा अपवर्तन कोण = ∠IMC = r
मानलो ∠MOC = α ∠ MCP = θ तथा ∠MIC = β
स्नेल के नियमानुसार, μ = \(\frac{\sin i}{\sin r}\)
i और r के मान बहुत कम होते हैं। \
अतः sin i = तथा sin r = r
μ = \(\frac{i}{r}\) या i = μr ………..(1)
Δ OMC में,. i = α + θ
तथा ΔIMC में, θ = r + β या r = θ – β
समी. (1) में i और r के मान रखने पर,
α + θ = μ (θ – β) …………..(2)

समी. (2) में मान रखने पर,

आंकिक प्रश्न

प्रश्न 1.
एक उत्तल लेंस की फोकस दूरी 10 सेमी है। यदि इसे 1.75 अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाय तो इसकी फोकस दूरी तथा प्रकृति क्या होगी ? (_aμ_g = 1.5)
उत्तर
दिया है – f_a = 10 सेमी, _aμ_l = 1.75, _aμ_g = 1.5. ज्ञात करना है – f₁

⇒ f_l = -3.5 × 10 = -35 सेमी।
उत्तर उत्तल लेंस की प्रकृति बदल जाएगी अर्थात् वह अवतल लेंस की भाँति व्यवहार करने लगेगा।

प्रश्न 2.
एक सुई एक लेंस से 45 सेमी की दूरी पर है उसका प्रतिबिम्ब दूसरी ओर 90 सेमी की दूरी पर स्थित पर्दे पर बनता है।लेंस का प्रकार तथा फोकस दूरी ज्ञात कीजिए। यदि सई की लम्बाई 5 सेमी हो, तो उसके प्रतिबिम्ब की लम्बाई क्या होगी?
उत्तर:
दिया है – u = – 45 सेमी, v = 90 सेमी, O = 5 सेमी।
लेंस सूत्र से, \(\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\)
या \(\frac{1}{f}=\frac{1}{90}+\frac{1}{45}\)
या \(\frac{1}{f}=\frac{1}{30}\)
f = 30 सेमी। फोकस दूरी धनात्मक है। अतः लेंस उत्तल लेंस होगा।
आवर्धन सूत्र से,
\(\frac{1}{\mathrm{O}}=\frac{v}{u}\)
या \(\frac{I}{5}=\frac{90}{-45}\)
या I = -5 × 2
या I = -10 सेमी।
ऋण चिन्ह दर्शाता है कि प्रतिबिम्ब उल्टा तथा वास्तविक होगा।

प्रश्न 3.
दो पतले लेंस जिनकी क्षमताएँ क्रमशः + 12D,-2D है। एक-दूसरे के सम्पर्क में रखे गये हैं। इस संयोग की क्षमता, फोकस दूरी तथा प्रकृति ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिया है- P₁ = +12D, P₂ = -2D
P = P₁ + P₂
= +12D – 2D=10D
परन्तु,
क्षमता
∴ f = \(\frac{1}{\mathrm{P}}\)
= \(\frac{1}{\mathrm{10}}\) = 0.1 मीटर
फोकस दूरी धनात्मक है, अतः लेंस की प्रकृति उत्तल (अभिसारी) होगी।

प्रश्न 4.
पानी ( μ = 1.3) के अन्दर एक वायुलेंस (बुलबुला) है, जिसके प्रत्येक पृष्ठ की वक्रता त्रिज्या 10 सेमी है।लेंस की फोकस दूरी तथा प्रकृति बताइये।
उत्तर:
दिया गया है – _aμ_w = 1.3 सेमी, R₁ = 10 सेमी, R₂ = -10 सेमी, वायु लेंस की फोकस दूरी
f_a = ?

f_a = -21.67
सेमी। पानी में वायु लेंस की प्रकृति अवतल होगी, जिसकी फोकस दूरी 21.67 सेमी होगी।

प्रश्न 5.
एक समतल उत्तल लेंस की फोकस दूरी ज्ञात कीजिए जिसकी उत्तल पृष्ठ की वक्रता त्रिज्या 10 सेमी एवं पदार्थ का अपवर्तनांक 1.5 है।
उत्तर:
\(\frac{1}{f}=(\mu-1)\left[\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right]\)
या \(\frac{1}{f}=(1 \cdot 5-1)\left[\frac{1}{10}-\frac{1}{\infty}\right]\)
या \(\frac{1}{f}=\frac{0 \cdot 5}{10}=\frac{5}{100}=\frac{1}{20}\)
या f = 20 सेमी।

प्रश्न 6.
अपवर्तनांक 1.55 के काँच से दोनों फलकों की समान वक्रता त्रिज्या के उभयोत्तल लेंस निर्मित करते हैं। यदि 20 सेमी फोकस दूरी व लेंस निर्मित करते है तो अपेक्षित वक्रता त्रिज्या क्या होगी? (NCERT)
उत्तर:
दिया गया है – μ = 1.55, R₁ = R, R₂ = -R, f = 20 सेमी।
सूत्र \(\frac{1}{f}=(\mu-1)\left[\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right]\)
\(\frac{1}{20}=(1 \cdot 55-1)\left[\frac{1}{R}-\frac{1}{-R}\right]\)
⇒ \(\frac{1}{20}=0.55 \times \frac{2}{R}=\frac{1 \cdot 1}{R}\)
या R = 1.1 × 20 = 22 सेमी।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न
1. सही विकल्प चुनकर लिखिए

प्रश्न 1.
जल के भीतर वायु का बुलबुला व्यवहार करेगा-
(a) उत्तल लेंस की तरह
(b) अवतल लेंस की तरह
(c) उत्तल दर्पण की तरह
(d) समतल दर्पण की तरह।
उत्तर:
(b) अवतल लेंस की तरह

प्रश्न 2.
एक समतल-उत्तल लेंस में उत्तल पृष्ठ की वक्रता-त्रिज्या 10 सेमी और लेंस की फोकस दूरी
30 सेमी है। लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक होगा
(a) 1.5
(b) 1.66
(c) 1.33
(d) 3.
उत्तर:
(c) 1.33

प्रश्न 3.
6D और -2D क्षमताओं के दो लेंसों को जोड़कर एक लेंस बनाया गया। इस लेंस की फोकस दूरी होगी-
(a) \(\frac{3}{2}\) मीटर
(b) \(\frac{1}{4}\) मीटर
(c) 4 मीटर
(d) \(\frac{1}{8}\)मीटर ।
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{4}\) मीटर

प्रश्न 4.
काँच \(\left(\mu=\frac{3}{2}\right)\) के उत्तल लेंस की फोकस दूरी 12 सेमी है। यदि वह μ = \(\frac{5}{4}\) के द्रव में डुबा दिया जाये, तो उसकी फोकस दूरी हो जायेगी-
(a) 6 सेमी
(b) 12 सेमी
(c) 24 सेमी
(d) 30 सेमी।.
उत्तर:
(d) 30 सेमी

प्रश्न 5.
एक उभयोत्तल लेंस मुख्य अक्ष के लम्बवत् तल द्वारा दो भागों में काट दिया जाता है। यदि मूल लेंस की क्षमता 4D थी, तो कटे हुए लेंस की क्षमता होगी
(a) 2D
(b) 3D
(c) 4D
(d) 5D.
उत्तर:
(a) 2D

प्रश्न 6.
0.1 मीटर फोकस-दूरी वाले काँच के एक समतलोत्तल लेंस को मुख्य अक्ष के लम्बवत् तलों द्वारा दो बराबर भागों में काट दिया जाता है। इस प्रकार बने नये लेंसों की फोकस दूरियों का अनुपात होगा-
(a) 1 : 1
(b) 1 : 2
(c) 2 : 1
(d) 2 : \(\frac{1}{2}\)
उत्तर:
(b) 1 : 2

प्रश्न 7.
यदि सम्पर्क में रखे दो लेंसों की फोकस दूरी क्रमशः। एवं , हों और संयोजन से बने लेंस की फोकस दूरी F हो तो –
(a) F = f₁ + f₂
(b) F = f₁ × f₂
(c) F = \(\frac{f_{1} \times f_{2}}{f_{1}+f_{2}}\)
(d) F = (f₁ + f₂)/f₁f₂
उत्तर:
(c) F = \(\frac{f_{1} \times f_{2}}{f_{1}+f_{2}}\)

प्रश्न 8.
उत्तल लेंस की फोकस दूरी ज्ञात करने की विस्थापन विधि में प्राप्त दो प्रतिबिम्बों की लम्बाइयाँ क्रमशः I₁ एवं I₂ हैं, तो वस्तु की लम्बाई होगी-
(a) \(\frac{\mathrm{I}_{1}}{\mathrm{I}_{2}}\)
(b) I₁ × I₂
(c) \(\sqrt{\mathrm{I}_{1} \times \mathrm{I}_{2}}\)
(d) \(\sqrt{\frac{\mathrm{I}_{1}}{\mathrm{I}_{2}}}\)
उत्तर:
(c) \(\sqrt{\mathrm{I}_{1} \times \mathrm{I}_{2}}\)

प्रश्न 9.
किस रंग के प्रकाश के लिए किसी उत्तल लेंस की फोकस दूरी अधिकतम होगी-
(a) बैंगनी
(b) लाल
(c) पोला
(d) नीला।
उत्तर:
(b) लाल

प्रश्न 10.
अपसारी लेंस उत्पन्न करता है-
(a) हमेशा आभासी प्रतिबिम्ब
(b) हमेशा वास्तविक प्रतिबिम्ब
(c) कभी आभासी और कभी वास्तविक
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) हमेशा आभासी प्रतिबिम्ब

प्रश्न 11.
यदि एक उत्तल लेंस के केन्द्रीय भाग को काले कागज से लपेट दिया जाये तो-
(a) वस्तु के दो प्रतिविम्ब बनेंगे, एक ऊपरी भाग से और दूसरा निचले भाग से
(b) प्रतिबिम्ब का मध्य भाग अदृश्य रहेगा
(c) प्रतिबिम्ब वैसा ही बनेगा, किन्तु तीव्रता कम रहेगी
(d) कोई प्रतिबिम्ब नहीं बनेगा।
उत्तर:
(c) प्रतिबिम्ब वैसा ही बनेगा, किन्तु तीव्रता कम रहेगी

प्रश्न 12.
काँच का बना एक अवतल लेंस (अपसारी लेंस ) उतने ही अपवर्तनांक वाले द्रव में रखा है। अवतल लेंस (अपसारी लेंस) व्यवहार करेगा-
(a) अपसारी लेंस की तरह
(b) अभिसारी लेंस की तरह
(c) समतल स्लैब की तरह
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(c) समतल स्लैब की तरह

प्रश्न 13.
संलग्न किरण पथ सही होगा यदि-

(a) यदि μ₁ = μ₂ = μ_g
(b) यदि μ₁ = μ₂ तथा μ₁ < μ_g
(c) यदि μ₁ = μ₂ तथा μ₁ > μ_g
(d) कभी-भी नहीं।
उत्तर:
(c) यदि μ₁ = μ₂ तथा μ₁ > μ_g

प्रश्न 14.
उत्तल लेंस को लेंस के पदार्थ के अपवर्तनांक से कम अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबाने पर उत्तल लेंस व्यवहार करेगा-
(a) अवतल लेंस की तरह
(b) उत्तल लेंस की तरह
(c) समतल प्लेट की तरह
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) उत्तल लेंस की तरह

प्रश्न 15.
अवतल लेंस को लेंस के पदार्थ के अपवर्तनांक से अधिक अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबाने पर अवतल लेंस व्यवहार करेगा-
(a) अवतल लेंस की तरह
(b) उत्तल लेंस की तरह
(c) समतल प्लेट की तरह
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) उत्तल लेंस की तरह

प्रश्न 16.
एक लेंस की फोकस दूरी किस रंग के लिए न्यूनतम होती है-
(a) बैंगनी
(b) लाल
(c) पीला
(d) नीला।
उत्तर:
(a) बैंगनी

2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

1. अवतल लेंस में रैखिक आवर्धन सदैव …………….. होता है।
उत्तर:
से कम

2. एक लेंस के दोनों पृष्ठों की वक्रता त्रिज्यायें बराबर हैं यदि इसके एक पृष्ठ को घिसकर समतल कर दें तो फोकस दूरी …………….. हो जायेगी।
उत्तर:
दुगुनी

3. गोलीय विपथन को कम करने के लिए दूरदर्शी एवं सूक्ष्मदर्शी में अभिदृश्यक के रूप में ………………… लेंस प्रयुक्त किया जाता है।
उत्तर:
समतलोत्तल

4. किसी लेंस को द्रव में डुबाने पर उसकी फोकस दूरी ………………. जाती है।
उत्तर:
बढ़

5. एक लेंस के द्वारा निर्मित वास्तविक प्रतिबिंब और वस्तु के बीच की न्यूनतम दूरी लेंस की फोकस दूरी के …………….. गुने के बराबर होती है।
उत्तर:
चार

6. काँच की प्लेट की फोकस दूरी ……………. होती है।
उत्तर:
अनंत

7. यदि वस्तु उत्तल लेंस के फोकस पर स्थित हो, तो प्रतिबिम्ब ……………….. पर बनता है।
उत्तर:
अनंत

8. किसी वास्तविक प्रतिबिम्ब में उत्पन्न दोषों को ………………. कहते हैं।
उत्तर:
विपथन

9. अवतल लेंस द्वारा बने प्रतिबिम्ब की प्रकृति ………… होती है।
उत्तर:
आभासी

10. लेंस की क्षमता का मात्रक ………… है।
उत्तर:
डाइऑप्टर

11. अवतल लेंस में रैखिक आवर्धन एक से ………….. होता है।
उत्तर:
कम

12. फोकस दूरी के व्युत्क्रम को लेंस की ………… कहते हैं।
उत्तर:
क्षमता

13. लेंस निर्माता सूत्र …………….. है।
उत्तर:
\(\frac{1}{f}=(\mu-1)\left[\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right]\)

3. उचित संबंध जोड़िए

(A)

स्तम्भ ‘अ’	स्तम्भ ‘ब’
1. लेंस की क्षमता	(a) उत्तल लेंस
2. पानी से भरा फ्यूज बल्ब	(b) अवतल लेंस
3. उत्तल लेंस की आवर्धन क्षमता	(c) डाइऑप्टर
4. अवतल लेंस की आवर्धन क्षमता	(d) 1 से अधिक
5. पानी में वायु का बुलबुला	(e) 1 से कम।

उत्तर:
1. (c) डाइऑप्टर
2. (a) उत्तल लेंस
3. (d) 1 से अधिक
4. (e) 1 से कम
5. (b) अवतल लेंस

(B)

स्तम्भ ‘अ’	स्तम्भ ‘ब’
1. गोलीय पृष्ठ से अपवर्तन का सूत्र	(a) \(\frac{1}{f}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}\)
2. लेंस निर्माता सूत्र	(b) \(\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\)
3. लेंस सूत्र	(c) \(\frac{1}{f}=(\mu-1)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)\)
4. लेंस की क्षमता	(d) \(\frac{\mu}{v}-\frac{1}{u}=\frac{(\mu-1)}{R}\)
5. लेंसों का संयोजन	(e) \(\frac{1}{f}\)

उत्तर:
1. (d) \(\frac{\mu}{v}-\frac{1}{u}=\frac{(\mu-1)}{R}\)
2. (c) \(\frac{1}{f}=(\mu-1)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)\)
3. (b) \(\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\)
4. (e) \(\frac{1}{f}\)
5. (a) \(\frac{1}{f}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}\)