MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता विविध प्रश्नावली

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता विविध प्रश्नावली

प्रश्न संख्या 1 से 11 तक प्रदत्त फलनों का, x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
प्रश्न 1.
(3x² – 9x + 5)⁹
हल:
माना y = (3x² – 9x + 5)⁹
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
sin³ x + cos⁶x
हल:
माना y = sin³ x + cos⁶ x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
(5x)^3cos2x
हल:
माना y = (5x)^3cos2x
दोनों ओर लघुगणक लेने पर,
log y = 3cos 2x log 5x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
sin^-1 (x\( \sqrt{{x}} \)), 0 ≤ x ≤ 1
हल:
माना y = sin^-1(x)^3/2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.

हल:

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7.
(log x)^{log x}, x > 1
हल:
माना y = (log x)^{log x}
दोनों ओर लघुगणक लेने पर,

प्रश्न 8.
cos (acos x + b sin x), किन्हीं अचर a तथा b के लिए।
हल:
माना y = cos (acos x + bsin x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
(sin x- cos x)^{(sin x – cos x)} \(\frac{\pi}{4}\) < x < \(\frac{3 \pi}{4}\)
हल:
माना y = (sin x- cos x)^{(sin x – cos x)}
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर,
log y = log (sin x – cosx)(sin x – cos x)
log y=(sin x – cos x)log (sin x – cosx),     [∵ log mⁿ = n log m]
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.
x^x + x^a + a^x + a^a, किसी नियत a > 0 तथा x > 0 के लिए।
हल:
माना y = x^x + x^a + a^x + a^a
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 11.
x^x2-3 + (x – 3)^x2, x > 3 के लिए।
हल:
माना y = x^x2-3 + (x – 3)^x2
= u + v (लगभग)

प्रश्न 12.
यदि y = 12 (1 – cost), x = 10(t – sint), \(-\frac{\pi}{2}\) < t < \(\frac{\pi}{2}\) है तो \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
y = 12(1 – cost ), x = 10 (t – sint)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 13.
यदि y = sin^-1 x + sin^-1 \(\sqrt{1-x^{2}}\), -1 ≤ x ≤ 1 है तो \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
y = sin^-1 x + sin^-1 \(\sqrt{1-x^{2}}\)
x = sin θ रखने पर,

प्रश्न 14.
यदि -1 < x < 1 के लिए \(x \sqrt{1+y}+y \sqrt{1+x=0}\) है तो सिद्ध कीजिए कि

हल:

दोनों तरफ वर्ग करने पर,
x² (1 + y) = y² (1 + x)
⇒ x² + x²y = y² + y²x
⇒ x² – y² – y²x + x²y = 0
⇒ (x – y)(x + y) + xy(x – y) = 0
⇒ (x – y)[x + y + xy] = 0
x – y = 0 ⇒ x ≠ y
x + y (1 + x) = 0

प्रश्न 15.
यदि किसी c > 0 के लिए (x – a)² + (y – b)² – c² है तो सिद्ध कीजिए कि

a और b से स्वतन्त्र एक स्थिर राशि है।
हल:
यहाँ (x – a)² + (y – b)² = (दिया है) …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 16.
यदि cos y = x cos (a + y) तथा cos a ≠ ±1 है तो सिद्ध कीजिए कि

हल:
cos y = xcos (a + y)
∴ x = \(\frac{\cos y}{\cos (a+y)}\)
y के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 17.
यदि x = a (cost + t sin t) और y = a (sin t – tcost) है तो \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ x = a (cost + t sin t) y = a (sin t – tcost)
अब, x = a (cos t + t sin t),
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 18.
यदि f(x) =|x|³ है तो प्रमाणित कीजिए कि f'(x) का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।
हल:
यहाँ f(x) = |x|³ = x³
जब, x > 0 |x| = x, ∴ f(x) = x³
f'(x) = 3x², f'(x) = 6x …(1)
जब x < 0 |x| = -x
f(x) = |x|³ = (-x)³ = -x³
f'(x) = -3x²,    f'(x) = -6x …(2)
(1) तथा (2) से,
f'(x) = 6|x|

प्रश्न 19.
गणितीय आगमन के सिद्धान्त के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी धन पूर्णांक n के लिए \(\frac{d}{d x}\left(x^{n}\right)\) = nx^n-1 है।
हल:

∴ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
⇒ P(n), n = 1, 2, 3,….. सभी धन पूर्णांकों के लिए सत्य है।

प्रश्न 20.
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा cosines के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए।
हल:
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
माना A और B, t के फलन हैं।
दोनों ओर t के सापेक्ष अवकलन करने पर,

अतः cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

प्रश्न 21.
क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिन्दु पर सतत हो किन्तु केवल दो बिन्दुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
हल:
फलन f(x) = |x| + |x – 1| को देखें |x|, |x – 1| दोनो फलन सब बिन्दुओं पर संतत है।
अतएव, f(x) = |x| + |x – 1| भी संतत है, x ϵ R के लिए
लेकिन |x|, x = 0 पर अवकलनीय नहीं होता।
इसी प्रकार, |x – 1|, x = 1 पर अवकलनीय नहीं होता।
स्पष्ट है कि । सभी बिन्दुओं पर (x ϵ R) पर संतत है और x = 0, x = 1 पर अवकलनीय नहीं है।

प्रश्न 22.
यदि

है तो सिद्ध कीजिए कि

हल:

प्रश्न 23.
यदि y = e^acos-1x, -1 ≤ x ≤ 1 है तो दर्शाइए कि

हल:
y= e^acos-1x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,