MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.2

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.2

1 से 10 तक प्रत्येक प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट),संगत अवकल समीकरण का हल है –
प्रश्न 1.
y = ex + 1: y’ – y = 0
हल:
y = ex + 1
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अंतः दिया हुआ फलन अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 2.
y = x2 + 2x + C: y’ – 2x – 2 = 0
हल:
y = x2 + 2x + C
\(\frac{d y}{d x}\) = 2x + 2
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) – 2x – 2 = 0
या y’ – 2x – 2 = 0
अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 3.
y = cosx + C: y’ + sin x = 0
हल:
y = cos x + C
\(\frac{d y}{d x}\) = – sin x
⇒ y’ + sin x = 0
अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

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प्रश्न 4.
y = \(\sqrt{1+x^{2}}\) : y’ = \(\frac{x y}{1+x^{2}}\)
हल:
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अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 5.
y = Ax: xy’ = y (x ≠ 0)
हल:
y = Ax
y’ = A ⇒ \(\frac{y}{x}\) (∵ A = \(\frac{y}{x}\))
या xy’ = y
अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 6.
y = x sinx: xy’ = y + x\(\sqrt{x^{2}-y^{2}}\)
(x ≠ 0 और x > y अथवा x < – y)
हल:
y = x sinx …(i)
y’ = x cos x + sin x
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अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

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प्रश्न 7.
xy = logy + C: y’ = \(\frac{y^{2}}{1-x y}\)(xy ≠ 1)
हल:
y = logy + C
xy’ + y = \(\frac{1}{y}\) · y’
y2 + xyy’ = y
⇒ y2 = y’ – xyy’
y2 = y'(1 – xy)
y’ = \(\frac{y^{2}}{1-x y}\)
अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 8.
y – cos y = x: (y sin y + cos y + x)y’ = y
हल:
y – cos y = 3x
y’ + sin y: y’ = 1
y (1 + sin y) = 1
⇒ y’ = \(\frac{1}{1+\sin y}\)
y. व y के मान अवकल समी० (y sin y + cos y + x) y’ = y में रखने पर
L.H.S. {(x + cos y) sin y + cosy + x}·\(\frac{1}{1+\sin y}\)
⇒ x + cos y = y
R.H.S. अत: दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 9.
x + y = tan-1y: y2y’ + y2 + 1 = 0
हल:
x + y = tan-1y
1 = y’ = \(\frac{1}{1+y^{2}}\)·y’
(1 + y2) + (1 + y2) y’ = y’
y2y’ + y2 + 1 = 0
अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

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प्रश्न 10.
y = \(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\) x ϵ ( -a, a): x + y\(\frac{d y}{d x}\) = 0 (y ≠ 0)
हल:
y = \(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\)
वर्ग करने पर
y2 = a2 – x2
⇒ x2 + y2 = a2
अवकलन करने पर
2x + 2yy’ = 0
2 से भाग देने पर
x + yy’ = 0
या x + y\(\frac{d y}{d x}\) = 0
अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 11.
चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है –
(A) 0
(B) 2
(C) 3
(D) 4
हल:
किसी चार कोटि वाले अवकल समीकरण के व्यापक हल में स्वेच्छ चार अचरों की संख्या होती है।
अतः विकल्प (D) सही है।

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प्रश्न 12.
तीन कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) 0
हल:
किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचर उपस्थित नहीं होता है।
अतःविकल्प (D) सही है।