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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.1
1 से 10 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण की कोटि एवं घात ( यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए
प्रश्न 1.
\(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}\) + sin (y”’) = 0
हल:
इस अवकल समीकरण में उच्चतम अवकलज कोटि \(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}\) है इसलिए समीकरण की कोटि 4 है। इस समीकरण का बायाँ पक्ष अवकलजों में बहुपद नहीं है इसलिए इसकी घात परिभाषित नहीं है।
प्रश्न 2.
y’ + 5y = 0
हल:
कोटि → 1
घात → 1
प्रश्न 3.
\(\left(\frac{d s}{d t}\right)^{4}+3 s \frac{d^{2} s}{d t^{2}}=0\)
हल:
ये कोटि 2 है तथा घात 1 है।
प्रश्न 4.
हल:
\(\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2}+\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)=0\) की कोटि 2 है तथा इसके बायें पद में कोई फलन नहीं है।
अतः इसकी घात परिभाषित नहीं है।
प्रश्न 5.
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = cos 3x + sin 3x
हल:
∵ उच्चतम अवकलज \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) है।
∴ इसकी कोटि 2 है तथा दायें पद में बहुपद की उच्चतम घात 1 है।
इसलिए समीकरण की घात 1 है।
प्रश्न 6. (y”’)2 (y”)3 + (y’)4 + y5 = 0
हल:
⇒ \(\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)^{2}+\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{4}\) + y5 = 0
उपरोक्त समीकरण में उच्चतम अवकलज \(\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)^{2}\) है।
∴ समी० की कोटि 3 है।
तथा घात 5 है।
प्रश्न 7.
y” + 2y” + y = 0
हल:
अवकल समीकरण की कोटि-3 परिभाषित नहीं है।
प्रश्न 8.
y + y = ex
हल:
अवकल समीकरण की कोटि 1 परिभाषित नहीं है।
प्रश्न 9.
y” + (y’)2 + 2y = 0
हल:
अवकल समीकरण की कोटि 2 परिभाषित नहीं है।
प्रश्न 10.
y’ + 2y’ + sin y = 0
हल:
अवकल समीकरण की कोटि 2 परिभाषित नहीं है।
प्रश्न 11.
अवकल समीकरण
\(\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0\) की घात है-
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) परिभाषित नहीं है
हल:
यह समीकरण अवकलज़ में बहुपदीय नहीं है; अतः यह परिभाषित नहीं है।
अतः विकल्प (D) सही है।
प्रश्न 12.
अवकल समीकरण \(2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} \cdot 3 \frac{d y}{d x}+y=0\) की कोटि है
(A) 2
(B) 1
(C) 0
(D) परिभाषित नहीं है
हल:
अवकल समीकरण \(2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} \cdot 3 \frac{d y}{d x}+y=0\) की कोटि 2 है।
अतः विकल्प (A) सही है।