MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.7

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.7

प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
x2 + 3x + 2
हल:
माना y = x2 + 3x + 2
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प्रश्न 2.
x20
हल:
माना y = x20
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 3.
xcosx
हल:
माना y = x cosx
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प्रश्न 4.
log x
हल:
y = logx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5.
x3 log x
हल:
माना y = x3 logx
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प्रश्न 6.
ex sin 5x
हल:
माना y = exsin 5x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 7.
e6x cos 3x
हल:
माना y = e6x cos 3x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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= e6x [-6sin 3x. 3 – 3cos 3x. 3] + [6cos 3x – 3sin 3x] × e6x . 6
= e6x[-18sin 3x – 9cos 3x] + e6x[36cos 3x – 18sin 3x]
= e6x[-18sin 3x – 9cos 3x + 36cos 3x – 18sin 3x]
= e6x[-36sin 3x + 27cos 3x]
= 9e6x[3 cos 3x – 4sin 3x]

प्रश्न 8.
tan-1x
हल:
माना y = tan-1 x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9.
log (log x)
हल:
माना y = log (log x)
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प्रश्न 10.
sin (log x)
हल:
माना y = sin (log x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 11.
यदि y = 5 cosx – 3 sin x है तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + y = 0
हल:
∵ y = 5cosx – 3sin x
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प्रश्न 12.
यदि y = cos-1x है तो \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) पदों में ज्ञात कीजिए-
हल:
∵ y = cos-1x
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प्रश्न 13.
यदि y = 3 cos (log x) + 4 sin (log x) है तो दर्शाइए कि x2y2 + xy1 + y = 0
हल:
∵ y = 3 cos (log x) + 4 sin (log x)
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इसलिए
x2y2 + xy1 + y = – 7cos (log x) – sin log x – 3sin (log x) + 4cos (cosx) + 3cos (log x) + 4 sin (log x)
= -7cos (log x) – sin (logx) + sin (log x) + 7cos (log x)
= 0
अत: x2y2 + xy1 + y = 0

प्रश्न 14.
यदि y = Aemx + Benx है तो दर्शाइए कि
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हल:
∵ y = Aemx + Benx
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प्रश्न 15.
यदि y = 500e7x + 600-7x है तो दर्शाइए कि
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = 49 y है।
हल:
y = 500e7x + 600-7x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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= 3500e7x – 4200e-7x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=3500 \frac{d}{d x} e^{7 x}-4200 \frac{d}{d x} e^{-7 x}\)
=3500 × e7x × 7 – 4200 × e-7x x (-7)
= 500 × 49e7x + 600 × 49e-7x
= 49(500e7x + 600e-7x)
= 49y

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प्रश्न 16.
यदि ey (x + 1) = 1 है तो दर्शाइए कि \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\) है|
हल:
ey (x + 1) = 1
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प्रश्न 17.
यदि y = (tan-1x)2 है तो दर्शाइए कि (x2 + 12)y2 + 2x (x2 + 1) y2 = 2 है।
हल:
y = (tan-1x)2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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