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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.2
प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए R पर f(x) = 3x + 17 से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
हल:
∵ f(x) = 3x + 17
\(\frac{d}{d x}\)f'(x) = 3
f'(x) = 3 = (+) ve (धनात्मक)
अत: f, R पर वर्धमान है।
प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए R पर f(x) = e2x से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
हल:
∵ f(x) = e2x
∴ \(\frac{d}{d x}\)(x) = f’ (x) = 2e2x
x ϵ R as fore f'(x) = + ve
अत: f, R पर वर्धमान है।
प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = sinx से प्रदत्त फलन
(a) \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में वर्धमान है।
(b) \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\) में ह्रासमान है।
(c) (0, π) में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
हल:
f(x) = sinx
∴ f'(x) = cosx
(a) f’ अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में f'(x) > 0 (धनात्मक)
⇒ f वर्धमान है।
(b) अन्तराल \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\) में f'(x) < 0 (ऋणात्मक)
⇒ f ह्रासमान है।
(c) अन्तराल (0, π) में f’ (x), धनात्मक या ऋणात्मक नहीं क्योंकि \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में धनात्मक और \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\) में ऋणात्मक है।
अतः f, (0, π) में न तो वर्धमान और न ही ह्रासमान है।
प्रश्न 4.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन f वर्धमान या ह्रासमान है
f(x) = 2x2 – 3x
हल:
∵ f(x) = 2x2 – 3x
∴ f(x) = 4x – 3
f(x) = 0 ⇒ 4x – 3 = 0
⇒ x = 3/4
अतः बिन्दु x = \(\frac{3}{4}\) वास्तविक संख्या रेखा को दो भागों में विभाजित करता है।
प्रश्न 5.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 7 से प्रदत्त फलन f
(a) वर्धमान,
(b) ह्रासान
हल:
यहाँ f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 7
f(x) = 6x2 – 6x – 36
= 6 (x2 – x – 6)
= 6(x – 3)(x + 2)
∴ x = -2 x = 3 वास्तविक संख्या रेखा को तीन अन्तरालों में विभाजित करता है।
यह अन्तराल है (-∞, -2),(-2, 3), (3, ∞)
जब x ϵ (-∞, -2), f(x) = + ve
जब x ϵ (-2, 3), f(x) = -ve
जब x ϵ (3, ∞), f(x) = + ve
इस प्रकार (a) अन्तराल (-∞, -2) ∪ (3, ∞) में f वर्धमान फलन है।
(b) अन्तराल (-2, 3) में f'(x) ऋणात्मक
अतः f ह्रासमान फलन है।
प्रश्न 6.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन f वर्धमान या ह्रासमान है-
(a) f(x) = x2 + 2x + 5
(b) f(x) = 10 – 6x – 2x2
(c) f(x) = -2x3 – 9x2 – 12x + 1
(d) f(x) = 6 – 9x – x2
(e) f(x) = (x + 1)3 (x – 3)3
हल:
(a) यहाँ f(x) = x2 + 2x – 5
∴ f (x) = 2x + 2 = 2(x + 1)
x = -1 संख्या रेखा को दो अन्तराल में विभाजित करता है। अन्तराल (-∞, -1), (-1, ∞) है।
(-∞, -1) में f'(x) = -ve
अतः f ह्रासमान फलन है।
(-1, ∞) में f'(x) = + ve
अतः वर्धमान फलन है।
(b) f(x) = 10 – 6x – 2x2
∴ f'(x) = -6 – 4x
= -2(3 + 2x)
∴ f’ (x) = 0 ⇒ = -2(3 + 2x) = 0
(c) यहाँ f(x) = -2x3 – 9x2 – 12x + 1
∴ f'(x) = -6x2 – 18x – 12 = -6(x2 + 3x + 2)
= -6(x + 1)(x + 2)
∴ x = -2, x = -1 वास्तविक रेखा को तीन अन्तरालों (-∞, -2), (-2, -1), (-1, ∞) में विभाजित करते हैं।
अन्तराल (-∞, -2) में f (x) = -ve
अतः ह्रिासमान फलन है। अन्तराल (-2, -1) या – 2 < x < -1 में f(x) = (-)(-)(+) = + ve अतः वर्धमान फलन है। अन्तराल (-1, ∞) या x > -1 में,
f(x) = (-)(+)(+) = -ve
∴ f ह्रासमान फलन है।
इस प्रकार (-2, -1) में वर्धमान फलन है। और (-∞, 2), (-1, ∞) में f ह्रासमान फलन है।
(d) यहाँ f(x) = 6 – 9x – x2
f'(x) = -9 – 2x = -(2x + 9)
अतः f ह्रासमान फलन है।
(e) यहाँ f(x) = (x + 1) (x – 3)3
f(x) = 3 (x + 1)2 (x – 3)2 + (x + 1)3 . (3x – 3)2
= 3(x + 1)2 (x – 3)2 (x – 3 + x + 1)
= 3(x + 1)2 (x – 3)2 (2x – 2)
= 6(x + 1)2 (x – 3)2 (x – 1)
अन्तराल (-∞, -1),(-1, 1) (1, 3), (3, ∞) है।
(i) जब अन्तराल (-∞, -1) और (-1, 1) में
f'(x) =- ve
अत: f ह्रासमान फलन है।
(ii) (1, 3), (3, ∞) अन्तरालों में
f(x) = + ve
अतः वर्धमान फलन है।
प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि y = log(1 + x) – \(\frac{2 x}{2+x}\) x > -1, अपने सम्पूर्ण प्रान्त में एक वर्धमान फलन है।
हल:
प्रश्न 8.
x के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए y = [r (x – 2)]2 एक वर्धमान फलन है।
हल:
माना y = f(x)
⇒ f(x) = [x(x – 2)]2 = [x2 -2x]2
⇒ f(x) बिन्दु x ϵ (0, 1) तथा (2, 0) पर वर्धमान है।
प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) में y = \(\frac{4 \sin \theta}{2+\cos \theta}\) – θ, θ का एक वर्धमान फलन है।
हल:
ज्ञात है
प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन (0, ∞) में वर्धमान फलन है।
हल:
माना f(x) = log x, x > 0
⇒ f(x) = \(\frac{1}{x}\) = धनात्मक (∵ x > 0)
अतः लघुगणकीय फलन वर्धमान है।
प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि (-1, 1) में f(x) = x2 – x + 1 से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही हासमान है।
हल:
यहाँ f(x) = x2 – x + 1
अन्तराल \(\left(\frac{1}{2}, 1\right)\) में f'(x) = +ve
इस प्रकार (-1, 1) में f'(x) का चिह्न एक नहीं है।
अतः इस अन्तराल में यह न तो वर्धमान और न ही ह्रासमान फलन है।
प्रश्न 12.
निम्नलिखित में कौन से फलन (0), \(\frac{\pi}{2}\)) में ह्रासमान है?
(A) cos x
(B) cos 2x
(C) cos 3x
(D) tan x
हल:
(A) माना f(x) = cos x, ∴ f(x) = -sinx
अन्तराल (0, π/2) में, sin x = + ve
⇒ f(x) = – ve
अत: f ह्रासमान फलन है।
(B) यहाँ f(x) = cos 2x ∴ f”(x) = -2sin 2x
अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में, sin 2x = +ve [∵ 0 < 2x < π]
∴ f'(x) = – ve
अतः ह्रिासमान फलन है।
(C) यहाँ f(x) = cos 3r
∴ f(x) = -3sin 3x
अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में sin 2x = -ve [∵ 0 < 3x < \(\frac{3 \pi}{2}\)]
∴ f'(x) = + ve
अतः f न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान फलन है।
(D) यहाँ f(x) = tan x ∴ f'(x) = secx
अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में, f'(x) = +ve
अतः वर्धमान फलन है।
प्रश्न 13.
निम्नलिखित अन्तरालों में से किस अन्तराल में f(x) = x100 + sin x – 1 द्वारा प्रदत्त फलन f ह्रासमान है?
(A) (0, 1)
(B) \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\)
(C) \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल:
यहाँ f(x) = x100 + sin x – 1
f'(x) = 100x99 + cosx
(A) अन्तराल 0 < x < 1, 0 < 100x99 < 100
और cos x = + ve
f'(x) = + ve
अतः वर्धमान फलन है।
(B) अन्तराल है, \(\frac{\pi}{2}\) < x < m
∴ f'(x) = 100x99 + cos x = +ve
अतः विर्धमान फलन है।
(C) अन्तराल है 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)
यहाँ पर 100x99 और cos x दोनों + ve हैं।
∴ f'(x) = + ve
अतः f वर्धमान फलन है।
अत: विकल्प (D) सही है।
प्रश्न 14.
a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल (1, 2) में f(x) = x2 + ax + 1 से प्रदत्त फलन f, वर्धमान है।
हल:
∵ f(x) = x2 + ax + 1
⇒ f'(x) = 2x + a
∵ बिन्दु (1, 2) पर, f(x) एक वर्धमान फलन है
∴ f'(x) > 0 ∀ 1 < x < 2 अब f”(x) = 2 > 0, ∀ x ϵ (1, 2)
⇒ f'(x), बिन्दु (1, 2) पर वर्धमान फलन है
⇒ बिन्दु (1, 2) पर f(1), f’ (x) की न्यूनतम मान है
∴ f'(1) > 0
⇒ 2 + a > 0
⇒ a > -2
अतः a का न्यूनतम मान -2 है।
प्रश्न 15.
मान लीजिए (-1, 1) से असंयुक्त एक अन्तराल I हो तो सिद्ध कीजिए कि I में f(x) = x + \(\frac{1}{x}\) से प्रदत्त फलन f, वर्धमान है।
हल:
अतः f एक वर्धमान फलन है, जब x < -1, x > 1, f वर्धमान फलन है।
प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = log sinx, \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में वर्धमान और \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\) में ह्रासमान है।
हल:
f(x) = log sin x
प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = log |cos x| \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में वर्धमान और \(\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)\) में ह्रासमान है।
हल:
यहाँ f(x) = log cosx
प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि R में दिया गया फलन f(x) = x3 – 3x2 + 3x – 100 वर्धमान है।
हल:
यहाँ f(x) = x3 – 3x2 + 3x – 100
∴ f'(x) = 3x2 – 6x + 3 = 3 (x2 – 2x + 1)
= 3(x – 1)2
∴ x ϵ R, f”(x)= + ve
अतः वर्धमान फलन है।
प्रश्न 19.
निम्नलिखित में से किस अन्तराल में y = x2 – e-x वर्धमान है?
(A) (-∞, ∞)
(B) (-2, 0)
(C) (2, ∞)
(D) (0, 2)
हल:
यहाँ f(x) = x2 e-x
∴ f'(x) = x2(-e-x) + e-x.2x
= -x2e-x + 2xe-x
= -xe-x (x – 2)
यदि f वर्धमान फलन है तो f'(x) > 0
या xe-x(2 – x) > 0 या -xe-x (x – 2) > 0
e-x सदैव धनात्मक है।
∴ -x(x – 2) > 0 या x (x – 2) < 0
⇒ x ϵ (0, 2) का अर्थ है f'(x) = + ve
अतः f वर्धमान फलन है यदि x ϵ (0, 2)
अतः विकल्प (D) सही है।