MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन विविध प्रश्नावली

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1 से 24 तक के प्रश्नों के फलनों का समाकलन कीजिए।
प्रश्न 1.
\(\frac{1}{x-x^{3}}\)
हल:

⇒ 1 = A (1 + x) (1 – x) + Bx (1 – x) + Cx (1 + x) …(1)
समी० (1) में, x = 0 रखने पर,
1 = A(1 + 0) (1 – 0)
⇒ A = 1
समी० (1) में, x = -1 रखने पर,
1 = B (-1) (1 + 1)

प्रश्न 2.
\(\frac{1}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}}\)
हल:

प्रश्न 3.
\(\frac{1}{x \sqrt{a x-x^{2}}}\)
हल:
माना \(\frac{1}{x \sqrt{a x-x^{2}}}\)

प्रश्न 4.
\(\frac{1}{x^{2}\left(x^{4}+1\right)^{3 / 4}}\)
हल:

प्रश्न 5.
\(\frac{1}{x^{1 / 2}+x^{1 / 3}}\)
हल:
माना \(\frac{1}{x \sqrt{a x-x^{2}}}\)

प्रश्न 6.
\(\frac{5 x}{(x+1)\left(x^{2}+9\right)}\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\frac{\sin x}{\sin (x-a)}\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\frac{e^{5 \log x}-e^{4 \log x}}{e^{3 \log x}-e^{2 \log x}}\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin ^{2} x}}\)
हल:

प्रश्न 10.
\(\frac{\sin ^{8} x-\cos ^{8} x}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x}\)
हल:

प्रश्न 11.
\(\frac{1}{\cos (x+a) \cos (x+b)}\)
हल:

प्रश्न 12.
\(\frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{8}}}\)
हल:

प्रश्न 13.
\(\frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)\left(2+e^{x}\right)}\)
हल:

प्रश्न 14.
\(\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}\)
हल:

प्रश्न 15.
cos³ x e^{log sinx}
हल:

प्रश्न 16.
e^{3 logx} .(x⁴ + 1)^-1
हल:

प्रश्न 17.
f'(ax + b).[f(ax + b)]ⁿ
हल:

प्रश्न 18.
\(\frac{1}{\sqrt{\sin ^{3} x \sin (x+\alpha)}}\)
हल:

= sin³ x (sin x cos α + cos x sin α)
= sin⁴ x cos α + sin³ x cos x sin α
= sin⁴ x (cos α + cot x sin α)

प्रश्न 19.
\(\frac{\sin ^{-1} \sqrt{x}-\cos ^{-1} \sqrt{x}}{\sin ^{-1} \sqrt{x}+\cos ^{-1} \sqrt{x}}\), (x ϵ [0, 1])
हल:

प्रश्न 20.
\(\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}\)
हल:

प्रश्न 21.
\(\frac{2+\sin 2 x}{1+\cos 2 x} e^{x}\)
हल:

प्रश्न 22.
\(\frac{x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}(x+2)}\)
हल:

प्रश्न 23.
\(\tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\)
हल:

प्रश्न 24.
\(\frac{\sqrt{x^{2}+1}\left[\log \left(x^{2}+1\right)-2 \log x\right]}{x^{4}}\)
हल:
माना

25 से 33 तक के प्रश्नों में निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 25.
\(\int_{\pi / 2}^{\pi} e^{x}\left(\frac{1-\sin x}{1+\cos x}\right) d x\)
हल:

प्रश्न 26.
\(\int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x \cos x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x\)
हल:

प्रश्न 27.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x d x}{\cos ^{2} x+4 \sin ^{2} x}\)
हल:

प्रश्न 28.
\(\int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2 x}} d x\)
हल:

प्रश्न 29.
\(\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}\)
हल:

प्रश्न 30.
\(\int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x} d x\)
हल:

प्रश्न 31.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \sin 2 x \tan ^{-1}(\sin x) d x\)
हल:

प्रश्न 32.
\(\int_{0}^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x\)
हल:

प्रश्न 33.
\(\int_{1}^{4}[|x-1|+|x-2|+|x-3|] d x\)
हल:

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए ( प्रश्न 34 से 39 तक)।
प्रश्न 34.
\(\int_{1}^{3} \frac{d x}{x^{2}(x+1)}=\frac{2}{3}+\log \frac{2}{3}\)
हल:
माना I = \(\int_{1}^{3} \frac{d x}{x^{2}(x+1)}\)

प्रश्न 35.
\(\int_{0}^{1} x e^{x} d x=1\)
हल:
माना I = \(\int_{0}^{1} x e^{x} d x=1\)
x को प्रथम फलन मानकर समाकलन करने पर,

प्रश्न 36.
\(\int_{-1}^{1} x^{17} \cos ^{4} x d x\) = 0
हल:
माना I = \(\int_{-1}^{1} x^{17} \cos ^{4} x d x\) = 0
माना f(x) = x¹⁷ cos⁴ x
f(-x) = (-x)¹⁷ cos⁴ (-x)

प्रश्न 37.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{3} x d x=\frac{2}{3}\)
हल:
माना I = \(\int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{3} x\)

प्रश्न 38.
\(\int_{0}^{\pi / 4} 2 \tan ^{3} x d x=1-\log 2\)
हल:

प्रश्न 39.
\(\int_{0}^{1} \sin ^{-1} x d x=\frac{\pi}{2}-1\)
हल:

प्रश्न 40.
योगफल की सीमा के रूप में \(\int_{0}^{1} e^{2-3 x} d x\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

41 से 44 तक के प्रश्नों में सही उत्तर का चयन कीजिए।
प्रश्न 41.
\(\int \frac{d x}{e^{x}+e^{-x}}\) बराबर है
(A) tan^-1(e^x) + C
(B) tan^-1(e^-x) + C
(C) log (e^x – e^-x) + C
(D) log (e^x + e^-x) + C
हल:

अत: विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 42.
\(\int \frac{\cos 2 x}{(\sin x+\cos x)^{2}} d x\) बराबर है-
(A) \(\frac{-1}{\sin x+\cos x}+C\)
(B) log|sin x + cos x| + C
(C) log|sin x – cos x| +C
(D) \(\frac{1}{(\sin x+\cos x)^{2}}\)
हल:

प्रश्न 43.
यदि f(a + b – x) = f(x), तो \(\) बराबर है-

हल:

प्रश्न 44.
\(\int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right) d x\) का मान है-
(A) 1
(B) 0
(C) -1
(D) \(\frac{\pi}{4}\)
हल:

समी० (1) व (2) का जोड़ने पर,
2I = 0 अथवा I = 0
अतः विकल्प (B) सही है।