MP Board Class 11th Physics Important Questions Chapter 5 गति के नियम

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MP Board Class 11th Physics Important Questions Chapter 5 गति के नियम

अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
जड़त्व किसे कहते हैं ? समझाइये।
उत्तर-
किसी वस्तु का वह गुण जिसके कारण वह अपनी विरामावस्था या गत्यावस्था में परिवर्तन का विरोध करती है, जड़त्व कहलाता है। यह दो प्रकार का होता है

1. विराम का जड़त्व-वस्तु यदि विराम में है तो वह विराम में ही रहना चाहती है।
2. गति का जड़त्व-वस्तु यदि गतिमान है तो वह गतिमान ही बने रहना चाहती है।

प्रश्न 2.
किसी वस्तु का जड़त्व उसके द्रव्यमान पर किस प्रकार निर्भर करता है ?
उत्तर-
वस्तु का जड़त्व उसके द्रव्यमान के अनुक्रमानुपाती होता है।

प्रश्न 3.
बल क्या है ? इसके प्रभाव समझाइये।
उत्तर-
बल वह बाहरी कारक है जो वस्तु की विरामावस्था अथवा गति अवस्था को बदलता है या बदलने का प्रयास करता है। इसके प्रमुख प्रभाव निम्न हैं-
(a) स्थिर वस्तु में गति उत्पन्न करना,
(b) गतिमान वस्तु की चाल या गति की दिशा बदलना,
(c) वस्तु का आकार तथा आवृत्ति बदलना।
बल = द्रव्यमान × त्वरण होता है।
अर्थात् F = m.a.

प्रश्न 4.
यदि किसी वस्तु की गति एकसमान है तो उस पर कार्य करने वाले परिणामी बल का मान कितना होगा? .
उत्तर-
वस्तु पर कुल बल शून्य होगा, क्योंकि वस्तु का वेग एकसमान होने के कारण त्वरण शून्य होगा।

प्रश्न 5.
संवेग से आप क्या समझते हैं ? इसका विमीय सूत्र लिखिये।
उत्तर-
संवेग = द्रव्यमान × वेग होता है। SI में इसका मात्रक किग्रा मीटर / सेकण्ड होता है। इसका विमीय सूत्र [M¹L¹T^-2] होता है।

प्रश्न 6. जड़त्व का नियम क्या है ?
उत्तर-
यदि कोई वस्तु स्थिर अवस्था में है तो स्थिर ही रहेगी और यदि गतिमान अवस्था में है तो वह उसी वेग से उसी दिशा में तब तक गतिमान रहेगी जब तक कि उस पर कोई बाहरी बल न लगाया जाये।

प्रश्न 7.
आवेग से क्या समझते हो?
उत्तर-
यदि कोई बल किसी वस्तु पर बहुत थोड़े समय के लिए लगाया जाये तो इसे बल का आवेग कहते हैं।
बल का आवेग = बल x समयान्तर अर्थात् आवेग = F.Δt.

प्रश्न 8.
क्रिकेट का खिलाड़ी तेजी से आती गेंद को पकड़ने के लिए अपने हाथ पीछे की ओर खींचता है, क्यों?
उत्तर-बल का आधेग ΔP = F.Δt से, .
F = \(\frac{\Delta \mathrm{P}}{\Delta t}\)
अर्थात् यदि Δt का मान अधिक है तो बल F का मान कम होगा खिलाड़ी द्वारा गेंद पकड़ते समय हाथ पीछे खींचने से समयान्तराल Δt का मान बढ़ जाता है अत: बल F का मान कम हो जाने के कारण कम चोट लगती है।

प्रश्न 9.
न्यूटन बल की परिभाषा दीजिये।
उत्तर-
1 किलोग्राम द्रव्यमान की वस्तु में 1 मीटर/सेकण्ड का त्वरण उत्पन्न करने वाले बल को 1 न्यूटन बल कहते हैं।

प्रश्न 10.
बन्दूक से गोली चलाते समय पीछे की ओर धक्का क्यों लगता है ?
उत्तर-
बंदूक से गोली चलाते समय गोली तीव्र वेग से आगे की ओर जाती है। गोली जिस बल के कारण आगे बढ़ती है बंदूक पर उतना ही प्रतिक्रिया बल पीछे की ओर लगता है, अत: बन्दूक चलाने वाले को पीछे की ओर धक्का लगता है।

प्रश्न 11.
जब कोई व्यक्ति नाव से कूदता है तो नाव पीछे की ओर चलने लगती है, क्यों?
उत्तर-
जब कोई व्यक्ति नाव से किनारे पर कूदता है तो नाव के पीछे हटने का कारण यह है कि प्रारंभ में व्यक्ति और नाव दोनों का संवेग शून्य होता है। व्यक्ति के कूदने पर नाव विपरीत दिशा में चलने लगती है जिससे दोनों का कुल संवेग पुनः शून्य हो जाता है।

प्रश्न 12.
किसी स्थिर बस के एकाएक चल पड़ने पर उसमें बैठे व्यक्ति पीछे की ओर गिर पड़ते हैं, क्यों?
उत्तर-
खड़ी हुई बस के एकाएक चल पड़ने पर बस में बैठे यात्री के शरीर का निचला सिरा भी चल पड़ता है, किन्तु शरीर का ऊपरी भाग जड़त्व के कारण विरामावस्था में अपनी जगह पर ही रह जाता है। अतः यात्री पीछे की ओर गिर पड़ते हैं।

प्रश्न 13.
संवेग संरक्षण नियम लिखिए।
उत्तर-
इस सिद्धांत के अनुसार यदि किसी निकाय पर कोई बाह्य बल नहीं लगाया जाता तो उसका रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।

प्रश्न 14.
संगामी बलों से क्या समझते हो ? इसके अंतर्गत वस्तु के संतुलन की शर्त लिखिए।
उत्तर-
जब किसी वस्तु के एक ही बिन्दु पर एकसाथ दो या दो से अधिक बल लगते हैं तो इन बलों को संगामी बल कहते हैं। यदि इन बलों का परिणामी बल शून्य होता है तो वस्तु संतुलन में होता है।

प्रश्न 15.
न्यूटन का गति का तृतीय नियम उदाहरण देकर समझाइए।
उत्तर-
इस नियमानुसार “प्रत्येक क्रिया के बराबर और विपरीत प्रतिक्रिया होती है”। यदि एक टेबल के ऊपर रखी पुस्तक अपने भार के कारण टेबल पर नीचे की ओर बल लगाती है तो न्यूटन के गति के तृतीय नियमानुसार टेबल भी पुस्तक पर ऊपर की ओर … उतना ही बल लगाता है।

प्रश्न 16.
क्रिया तथा प्रतिक्रिया बल समान (बराबर) तथा विपरीत होते हैं तथा वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, क्यों? :
उत्तर-
क्रिया तथा प्रतिक्रिया बल एक वस्तु पर कार्य नहीं करते अपितु भिन्न-भिन्न वस्तुओं पर कार्य करते हैं अतः ये एक-दूसरे को निरस्त नहीं कर पाते।

प्रश्न 17.
बल का निरपेक्ष मात्रक (Absolute unit) क्या है ?
उत्तर-
1 न्यूटन = 1 किग्रा × 1 मीटर/सेकण्ड²
1 डाइन = 1 ग्राम × 1 सेमी / सेकण्ड² ।

प्रश्न 18.
गति का मूलभूत नियम कौन-सा है और क्यों?
उत्तर-
न्यूटन का द्वितीय नियम ही गति का मूलभूत नियम कहलाता है क्योंकि द्वितीय नियम से प्रथम नियम तथा तृतीय नियम निगमित किये जा सकते हैं।

प्रश्न 19.
बल क्या है ? तथा इसके प्रभाव क्या हैं ?
उत्तर-
बल वह बाहरी कारण है जो किसी वस्तु में गति उत्पन्न करता है। यह निम्नलिखित तीन प्रकार के प्रभाव उत्पन्न करता है
(i) स्थिर वस्तु को गतिमान करता है।
(ii) गतिमान वस्तु की चाल बदलना या गति की दिशा बदलना अथवा चाल व गति की दिशा दोनों बदलना।
(iii) वस्तु का आकार व आकृति बदलना।

प्रश्न 20.
न्यूटन के प्रथम नियम से क्या स्पष्ट होता है ?
उत्तर-
न्यूटन का प्रथम नियम जड़त्व एवं बल की परिभाषा बतलाता है।

प्रश्न 21.
किसी तीव्र गति से चल रही बस के एकाएक रुकने पर यात्री आगे की ओर गिरते हैं, क्यों?
उत्तर-
बस जब गतिशील है तो यात्री का सम्पूर्ण शरीर गति अवस्था में रहता है, बस के एकाएक रुकने से यात्री के शरीर का निचला भाग विरामावस्था में आ जाता है, किन्तु शरीर का ऊपरी भाग गति के जड़त्व के कारण गति अवस्था में बना रहता है अतः यात्री आगे की ओर गिर जाता है।

प्रश्न 22.
बंदूक की गोली से खिड़की के काँच में एक स्पष्ट छेद बन जाता है। लेकिन काँच नहीं टूटता है, क्यों?
उत्तर-
खिड़की के काँच पर यदि तीव्र गति से आती हुई बंदूक की गोली टकराती है तो खिड़की का केवल वह भाग जहाँ छर्रा टकराता है गतिमान होकर आगे निकल जाता है तथा शेष भाग विराम के जड़त्व के कारण स्थिर ही बना रहता है। इस प्रकार काँच में एक स्पष्ट छेद बन जाता है।

प्रश्न 23.
न्यूटन के तृतीय नियमानुसार प्रत्येक क्रिया के बराबर तथा विपरीत प्रतिक्रिया होती है । तब किसी वस्तु पर बल लगाने से उसमें गति कैसे उत्पन्न हो जाती है ?
उत्तर-
किसी वस्तु पर बल लगाने से उसमें विस्थापन होता है परन्तु वस्तु रुकती नहीं है क्योंकि क्रिया बल तथा प्रतिक्रिया बल दोनों एक ही वस्तु पर कार्य नहीं करते हैं अत: जमीन द्वारा उस वस्तु पर प्रतिक्रिया बल नहीं लगाया जाता है जिससे वस्तु गतिमान हो जाती है।

प्रश्न 24.
क्या कारण है कि जेटयान अत्यधिक ऊँचाई पर तथा प्रोपेलर कम ऊँचाई पर उड़ते
उत्तर-
चूँकि जेटयान में बाहर से वायुमंडल की वायु अन्दर खींचकर संपीडित होती है अतः वायु का सघन होना आवश्यक नहीं है, जबकि प्रोपेलर यान वायुमंडलीय वायु को पीछे ढकेलकर आगे बढ़ता है (न्यूटन के तृतीय नियमानुसार) अत: वायु का सघन होना आवश्यक है और चूँकि कम ऊँचाई पर वायु सघन होती है अत: प्रोपेलर को आगे बढ़ने में सरलता होती है जबकि अधिक ऊँचाई पर वायु अपेक्षाकृत विरल होती है।

प्रश्न 25.
बल के निरपेक्ष मात्रक कौन-कौन से हैं ? इनकी परिभाषाएँ लिखिए।
उत्तर-
SI में बल का निरपेक्ष मात्रक न्यूटन है
1 न्यूटन = 1 किग्रा ×1 मीटर/सेकण्ड²
अर्थात् । न्यूटन, बल का वह परिमाण है जो 1 किग्रा के पिण्ड में 1 मीटर/सेकण्ड का त्वरण उत्पन्न कर देता है। CGS पद्धति में बल का निरपेक्ष मात्रक डाइन है।
1 डाइन = 1 ग्राम × 1 सेमी/सेकण्डर 1 डाइन, बल का वह परिमाण है जो 1 ग्राम के पिण्ड में 1 सेमी/सेकण्ड² का त्वरण उत्पन्न कर देता है। चूँकि 1 न्यूटन = 1 किग्रा मीटर/सेकण्ड² = 1000 ग्राम × 100 सेमी/सेकण्ड²
∴ 1 न्यूटन = 10 डाइन। यह न्यूटन तथा डाइन में संबंध है।

प्रश्न 26.
एक पिण्ड समरूप वेग से गतिमान है, क्या इसके वेग को नियत रखने के लिए बल की आवश्यकता है?
उत्तर-
नहीं, न्यूटन के गति के प्रथम नियमानुसार बाहरी बल की अनुपस्थिति में पिण्ड का वेग नियत रहता है।

प्रश्न 27.
एक पिण्ड पर नियत बल आरोपित किया जाता है। वेग, संवेग, त्वरण तथा गतिज ऊर्जा में से क्या संरक्षित रहेगा तथा क्या बदलेगा?
उत्तर-
त्वरण संरक्षित रहेगा।
नियत बल क्योंकि त्वरण =
अतः वेग, संवेग तथा गतिज ऊर्जा स्थिर नहीं रहेंगे बल्कि बदलेंगे।

प्रश्न 28. घर्षण से क्या तात्पर्य है ? यह किस प्रकार का बल है ?
उत्तर-
जब एक पिण्ड दूसरे पर फिसलता है या फिसलने का प्रयास करता है, तो उनके संपर्क तलों के मध्य एक बल कार्य करता है, जो पिण्डों की आपेक्षिक गति का विरोध करता है, इस बल को घर्षण बल कहते हैं। यह एक गति विरोधी बल है।

प्रश्न 29. सीमान्त घर्षण से क्या तात्पर्य है ? :
उत्तर-
जब एक वस्तु दूसरे वस्तु के पृष्ठ पर ठीक गति करने की स्थिति में होती है तो दोनों वस्तुओं के संपर्क तलों के मध्य कार्य करने वाले अधिकतम घर्षण बल को सीमान्त घर्षण कहते हैं।

प्रश्न 30.
घर्षण से लाभ लिखिए।
उत्तर-
घर्षण के लाभ-

• घर्षण के कारण हम जमीन पर चल पाते हैं ।
• घर्षण के कारण ब्रेक लगाकर वाहनों को रोका जा सकता है।
• घर्षण के कारण आग जला पाते हैं।
• घर्षण के कारण खाना चबा पाते हैं।
• घर्षण के कारण चाक से श्यामपट पर लिख पाते हैं।

प्रश्न 31.
घर्षण को किस प्रकार कम किया जा सकता है ?
उत्तर-
घर्षण को निम्न प्रकार से कम किया जा सकता है

• संपर्क तलों के मध्य पालिश करके।
• बाल बियरिंग का उपयोग करने से सी घर्षण बेल्लन घर्षण में परिवर्तित हो जाता है, जिसका मान बहुत ही कम होता है।
• ग्रीस, मोबिल ऑयल इत्यादि स्नेहकों का उपयोग करके घर्षण को कम किया जा सकता है।

प्रश्न 32.
घर्षण से क्या हानियाँ हैं ?
उत्तर-घर्षण से निम्न हानियाँ हैं

1. मशीनों के पुर्जे घिस जाते हैं ।
2. मशीनों की दक्षता घट जाती है।
3. मशीनों को दी गयी ऊर्जा का कुछ भाग ऊष्मा के रूप में व्यय हो जाता है।

प्रश्न 33.
घर्षण के प्रमुखतः कितने प्रकार हैं ?
उत्तर-
घर्षण दो प्रकार का होता है

1. सीमान्त घर्षण।
2. गतिक घर्षण।

प्रश्न 34.
बाल बियरिंग का उपयोग करके घर्षण कैसे कम किया जा सकता है?
उत्तर-
बाल बियरिंग का उपयोग करके सपी घर्षण को लोटन घर्षण में बदल लेते हैं क्योंकि लोटन घर्षण का मान सी घर्षण की अपेक्षा कम होता है।

प्रश्न 35.
धारारेखीय आकृति देकर घर्षण कैसे कम किया जा सकता है?
उत्तर-
जब कोई पिण्ड किसी तरल में गति करता है तो तरल के घर्षण को कम करने के लिए पिण्ड की आवृत्ति एक विशेष प्रकार की बनायी जाती है जिससे पिण्ड के संपर्क में तरल की पर्तों का प्रवाह धारारेखीय हो। इससे तरल घर्षण कम हो जाता है। यही कारण है कि वायुयान, जेट, आदि मछली की आकृति के बनाये जाते हैं।

प्रश्न 36.
अन्तरिक्ष में घोड़ा, गाड़ी को नहीं खींच सकता, क्यों ?
उत्तर-
इसका कारण है कि अन्तरिक्ष में घोड़े अथवा गाड़ी को चलाने के लिए आवश्यक बल को प्रदान करने के लिए किसी तल की प्रतिक्रिया नहीं मिल सकेगी।

प्रश्न 37.
स्नेहक (Lubricant) का उपयोग करके घर्षण कैसे घटाया जा सकता है ?
उत्तर-
दोनों संपर्क तलों के मध्य स्नेहक तेल या ग्रीस डाल देने से दोनों तल एक-दूसरे के प्रत्यक्ष सम्पर्क में नहीं आ पाते हैं। वास्तव में स्नेहक तेल या ग्रीस डालने से शुष्क घर्षण, तरल घर्षण में परिवर्तित हो जाता है जिसका मान अपेक्षाकृत कम होता है।

प्रश्न 38.
दो पृष्ठों के बीच घर्षण गुणांक किन-किन बातों पर निर्भर करता है ?
उत्तर-

1. स्पर्श तलों की प्रकृति पर।
2. तलों की स्वच्छता पर।
3. ताप पर।
4. आर्द्रता पर ।

प्रश्न 39.
मोड़ों पर रेल की बाहरी पट्टी कुछ ऊपर क्यों रखते हैं ?
उत्तर-
ऐसा करने से मोड़ों पर गुजरते समय ट्रेन स्वयं ही ऊपर की ओर झुक जाती है, इस स्थिति में पृथ्वी की अभिलंब प्रतिक्रिया से वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेन्द्र बल प्राप्त हो जाता है जिससे ट्रेन के फिसलने या पलटने का खतरा बहुत कम हो जाता है।

प्रश्न 40.
पहाड़ों पर घुमावदार सड़क समतल न होकर बाहर की ओर कुछ उठी रहती है, क्यों ?
उत्तर
पहाड़ों की घुमावदार सड़क, समतल न होकर बाहर की ओर कुछ उठी रहती है, ऐसा होने से वाहन स्वयं ही घुमाव के केन्द्र की ओर झुक जाते हैं जिससे उन्हें वृत्तीय गति करने के लिए आवश्यक अभिकेन्द्र बल पृथ्वी को अभिलंब प्रतिक्रिया से प्राप्त हो जाता है।

प्रश्न 41.
क्या बिना वेग परिवर्तन के वृत्ताकार मार्ग पर गति हो सकती है, समझाइये। ।
उत्तर
नहीं ऐसा संभव नहीं है, क्योंकि वृत्तीय पथ पर गति करते समय उनकी दिशा में भी परिवर्तन होते हैं। इस दिशा में परिवर्तन के कारण वृत्त के केन्द्र की ओर अभिकेन्द्री त्वरण की उत्पत्ति हो जाती है।

प्रश्न 42.
क्या अभिकेन्द्री बल की अनुपस्थिति में वृत्तीय गति संभव है ? ।
उत्तर-
कोई भी वस्तु वृत्तीय गति तभी करती है जबकि उस पर अभिकेन्द्री बल लगा हो, अभिकेन्द्री बल की अनुपस्थिति में वृत्तीय गति संभव नहीं है।

प्रश्न 43.
क्या यह संभव है कि किसी पिण्ड की गति त्वरण के अन्तर्गत एकसमान चाल से हो? उदाहरण देकर व्याख्या कीजिए।
उत्तर-
हाँ, एकसमान कोणीय वेग से क्षैतिज वृत्तीय गति में चाल नियत रहती है लेकिन गति की दिशा लगातार बदलते रहने के कारण, पिण्ड का वेग बदलता रहता है। अर्थात् पिण्ड पर वृत्त के केन्द्र की ओर त्वरण लगता है।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
न्यूटन के गति के नियमों को लिखिए।
उत्तर-
न्यूटन के गति के तीन नियम हैं, जो निम्नानुसार हैं गति का प्रथम नियम-इस नियम के अनुसार,“जो वस्तु विरामावस्था में है वह विरामावस्था में ही रहेगी और जो वस्तु गतिमान है वह उसी चाल से उसी दिशा में ही चलती रहेगी जब तक कि उस पर कोई बाह्य बल न लगाया जाय।”
गति का द्वितीय नियम-इस नियम के अनुसार, “किसी गतिमान वस्तु के संवेग में परिवर्तन की दर उस पर लगाये गये बल के अनुक्रमानुपाती होती है तथा यह परिवर्तन उस बल की दिशा में होता है।”

गति का तृतीय नियम-इस नियम के अनुसार, “प्रत्येक क्रिया की उसके विपरीत दिशा में बराबर प्रतिक्रिया होता है।” नोट-जड़त्व का नियम-गति के प्रथम नियम को ही जड़त्व का नियम कहते हैं ।

प्रश्न 2.
रेखीय संवेग संरक्षण का नियम लिखिए। उसे सिद्ध कीजिए।
अथवा
रेखीय संवेग संरक्षण के नियम की व्याख्या कीजिए।
उत्तर-
रेखीय संवेग संरक्षण के नियमानुसार, “यदि किसी निकाय पर कोई बाह्य बल न लग रहा हो तो इस निकाय का सम्पूर्ण रेखीय संवेग नियत रहता है”। । मानलो किसी निकाय पर बल \( \overrightarrow{\mathrm{F}}\) लगाया जाता है जिससे समयान्तराल Δt में उसके संवेग में परिवर्तन \( \) हो जाता है। ।

अतः न्यूटन के गति के द्वितीय नियम से, \( \overrightarrow{\mathrm{F}}\) = \(\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}\)
यदि बाह्य बल \( \overrightarrow{\mathrm{F}}\) = 0 हो, तो
\(\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}\) = 0
या
\(\Delta \vec{p}\) = 0
∴ p= एक नियतांक
अर्थात् बाह्य बल की अनुपस्थिति में निकाय का रेखीय संवेग नियत रहता है।

प्रश्न 3.
यदि दो वस्तुएँ समान वेग से गतिमान हैं तो भारी वस्तु का संवेग हल्के वस्तु के संवेग से अधिक होता है। सिद्ध कीजिए।
उत्तर-
माना भारी वस्तु का द्रव्यमान M तथा हल्की वस्तु का द्रव्यमान m है। दोनों वस्तुएँ समान वेग v से गतिमान हैं।
∴ भारी वस्तु का संवेग P₁ = M.v .
हल्की वस्तु का संवेग P₂ = m.v
∴ \(\frac{\mathrm{P}_{1}}{\mathrm{P}_{2}}\) = \(\frac{\mathrm{M}}{m}\)
परन्तु
M>m
अतः P₁ > P₂ अर्थात् भारी वस्तु का संवेग हल्की वस्तु के संवेग से अधिक होती है।

प्रश्न 4.
यदि दो वस्तुओं के संवेग समान हैं तो हल्के वस्तु का वेग, भारी वस्तु के वेग की अपेक्षा अधिक होता है, क्यों?
उत्तर-
माना भारी वस्तु का द्रव्यमान M तथा हल्की वस्तु का द्रव्यमान m है। दोनों वस्तुओं के संवेग P हैं। उनके वेग क्रमशः v₁ तथा v₂ हैं।
तब भारी वस्तु का संवेग P = Mv₁,
एवं हल्की वस्तु का संवेग P = mv₂, चूँकि दोनों के संवेग समान हैं अतः
Mv₁ = mv₂
∴ \(\frac{v_{2}}{v_{1}}\) = \(\underline{\mathrm{M}}\)
चूँकि M> m अत: v₁ >v₂.
अर्थात् हल्की वस्तु का वेग, भारी वस्तु के वेग से अधिक होगा।

प्रश्न 5.
न्यूटन का गति का द्वितीय नियम क्या है ? इसकी सहायता से सिद्ध कीजिए कि F= ma.
उत्तर-
न्यूटन का गति का द्वितीय नियम-लघु उत्तरीय प्रश्न क्रमांक 1 देखें। सूत्र स्थापना-माना m द्रव्यमान की कोई वस्तु v वेग से गतिमान है तब वस्तु का संवेग p=m.v यदि कोई बल Δt समय तक वस्तु पर कार्य करता है तो संवेग में परिवर्तन Δp = Δ(mv)

अत: न्यूटन के द्वितीय नियमानुसार,
F ∝ \(\frac{\Delta p}{\Delta t}\)
⇒ F ∝ \(\frac{\Delta(m v)}{\Delta t}\)
या
F = k.m.\(\frac{\Delta v}{\Delta t}\)
जहाँ K एक अनुक्रमानुपाती नियतांक है इसका मान बल के मात्रक पर निर्भर करता है और वस्तु का द्रव्यमान m एक नियत राशि है। अतः F=km\(\frac{\Delta v}{\Delta \mathrm{t}}\) …………………. (1)

परन्तु = \(\frac{\Delta v}{\Delta \mathrm{t}}\) = a = वस्तु का त्वरण
अतः F = k.ma …………………. (2)
SI तथा CGS पद्धति में k=1
अतः समी. (2) से,
F = ma .
यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 6.
स्पष्ट कीजिए किं न्यूटन के द्वितीय नियम में प्रथम नियम निहित है।
अथवा
न्यूटन के द्वितीय नियम से न्यूटन का प्रथम नियम ज्ञात कीजिए।
उत्तर-
द्वितीय नियमानुसार,
यदि
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) = m\( \)
F= 0
तो \(\vec{a}\) = 0

अर्थात् यदि वस्तु पर कोई बल न लगे तो उसका त्वरण शून्य होगा अर्थात् यदि वस्तु स्थिर है तो स्थिर ही रहेगी और गतिमान है तो गतिमान ही रहेगी जब तक कि उस पर कोई बाहरी बल न लगे। यही न्यूटन का प्रथम नियम है।

प्रश्न 7.
बल के आवेग से क्या तात्पर्य है ? न्यूटन के द्वितीय नियम से सिद्ध कीजिए कि बल का आवेग, संवेग में परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
उत्तर-
बल के आवेग की परिभाषा के लिए अति लघु उत्तरीय का प्रश्न क्रमांक 7 देखें।
यदि किसी वस्तु पर एक नियत बल \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) को Δt समयान्तर के लिये लगाया जाये तो
बल का आवेग = बल × समयान्तर
= F × Δt

परन्तु न्यूटन के द्वितीय नियम से,
F=m\(\vec{a}\)
अतः आवेग = ma.Δt
आवेग = m \(\frac{\Delta v}{\Delta t}\) .Δt
आवेग = m.Δv
आवेग = संवेग में परिवर्तन की दर।
यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 8.
किसी रोलर को ढकेलने की अपेक्षा खींचना आसान होता है, क्यों?
उत्तर-
चित्रों में रोलर का ढकेलना तथा खींचना प्रदर्शित है। रोलर पर लगने वाले बल हैं-

• रोलर का भार W ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर,
• बाह्य बल F,
• घर्षण बल f गति की दिशा के ‘परीत,
• अभिलंब प्रतिक्रिया R ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर।
  बल F को दो घटकों में वियोजित किया गया है।

क्षैतिज घटक Fcos θ तथा ऊर्ध्वाधर घटक F sin θ है।

ढकेलते समय R = W+ F sin θ
अतः घर्षण बल f =µ.R = (W+ F sin θ )
खींचते समय R = W-F sin θ
अतः । घर्षण बल f =µR = (W-F sin θ)
अतः उपर्युक्त से स्पष्ट है कि ढकेलने की अपेक्षा खींचने में लगने वाले घर्षण बल का मान कम होता है। अतः रोलर को ढकेलने की अपेक्षा खींचना आसान होता है।

प्रश्न 9.
बन्दूक चलाते समय, चलाने वाले को पीछे की ओर धक्का क्यों लगता है ?
अथवा
बंदूक के प्रतिक्षिप्त वेग का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर-
माना M द्रव्यमान की एक बन्दूक से m द्रव्यमान की एक गोली \(\overrightarrow{v_{1}}\) वेग से दागी जाती है जिससे बंदूक पीछे की ओर \(\vec{v}_{2} \) वेग से प्रतिक्षिप्त होती है। गोली दागने से पूर्व बंदूक तथा गोली का कुल रेखीय संवेग शून्य है।
गोली दागने के उपरान्त बंदूक तथा गोली का कुल रेखीय संवेग = M\(\vec{v}_{2} \) + m\(\overrightarrow{v_{1}}\),

अब रेखीय संवेग संरक्षण के नियम से, गोली दागने के उपरान्त कुल रेखीय संवेग = गोली दागने के पूर्व कुल रेखीय संवेग
M\(\vec{v}_{2} \)+ m\(\overrightarrow{v_{1}}\) = 0
M\(\vec{v}_{2} \) = -m\(\overrightarrow{v_{1}}\)
या
∴ बंदूक का प्रतिक्षिप्त वेग \(\vec{v}_{2} \) = \(\frac{-m v_{1}}{\mathrm{M}}\) ………………. (1)

यहाँ ऋणात्मक चिन्ह प्रदर्शित करता है कि बंदूक के वेग की दिशा गोली के वेग की दिशा के विपरीत है अर्थात् बंदूक पीछे की ओर हो जाती है जिसके कारण बंदूक चलाने वाले को पीछे की ओर धक्का लगता है
परन्तु m<2<<v₁ अर्थात् बंदूक का प्रतिक्षिप्त वेग, गोली के वेग की तुलना में अत्यन्त को होता है।

प्रश्न 10.
संगामी बलों से क्या तात्पर्य है ? इनके संतुलन की आवश्यक स्थिति समझाइये।।
उत्तर-
जब किसी वस्तु के एक ही बिन्दु पर एक साथ दो अथवा दो से अधिक बल लगते हैं, तो बलों को संगामी बल कहते हैं । यदि इन संगामी बलों का परिणामी बल शून्य होता है तो वस्तु संतुलन में ।। इन है।
अतः जब वस्तु के किसी बिन्दु पर कार्यरत सभी बलों का परिणामी बल शून्य होता है, तो वस्तु संतुलं होती होती है, तथा वस्तु पर कार्यरत बल संतुलन में कहे जाते हैं। नि में माना किसी वस्तु के एक बिन्दु पर एक साथ अनेक बल \(\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}, \vec{F}_{3}\) ……. आरोपित किये जाते हैं तो वस्तु के संतुलन में रहने के लिए आवश्यक है कि \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{1}+\overrightarrow{\mathrm{F}}_{2}+\overrightarrow{\mathrm{F}}_{3}+ \) = 0 . …………………………….. (1) ,

स्पष्ट है कि यदि वस्तु पर दो संगामी बल \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{1}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{2}\) लगते हैं तो वस्तु के संतुलन के लिए ये दोनों बल बराबर तथा विपरीत होने चाहिये लेकिन यदि वस्तु पर तीन संगामी बल \(\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}, \vec{F}_{3}\), लगते हैं तो वस्तु के संतुलन के लिए आवश्यक है कि
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{1}+\overrightarrow{\mathrm{F}}_{2}+\overrightarrow{\mathrm{F}}_{3}+ \) = 0
या \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{3}\) =- \(\left(\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}\right)\)
अर्थात् बल \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{3}\), तथा \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{1}\) व \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{2}\) का परिणामी बल, परस्पर बराबर तथा विपरीत होने चाहिए।

प्रश्न 11.
संवेग संरक्षण नियम को लिखकर इसकी सहायता से न्यूटन का गति का तृतीय नियम समझाइये।
उत्तर-
संवेग संरक्षण नियमानुसार यदि किसी निकाय पर कोई बाह्य बल न लगे तो उसका रैखिक संवेग नियत रहता है। _माना m₁,m₂, द्रव्यमान के दो पिण्ड परस्पर अन्योन्य क्रिया करते हैं। इनके प्रारंभिक संवेग \(\vec{p}_{1}\) तथा \(\overrightarrow{p_{2}} \) हैं। अन्योन्य क्रिया के फलस्वरूप Δt समय में इनके संवेग में परिवर्तन \(\Delta \overrightarrow{p_{1}}\) तथा \(\Delta \overrightarrow{p_{2}}\) हो जाता है।

चूंकि इन पर कोई बाह्य बल नहीं लगाया गया है, अतः संवेग संरक्षण के नियमानुसार दोनों पिण्डों का कुल रेखीय संवेग संरक्षित रहेगा। ।
अतः \(\left(\overrightarrow{p_{1}}+\overrightarrow{p_{2}}\right) \) = नियतांक
या Δ(\left(\overrightarrow{p_{1}}+\overrightarrow{p_{2}}\right) [/latex]) = 0
या Δ\(\vec{p}_{1} \) +Δ\( \vec{p}_{2}\) = 0
या Δ\(\vec{p}_{1} \) =-Δ\( \vec{p}_{2}\)
Δt का भाग देने पर,
\(\frac{\Delta \vec{p}_{1}}{\Delta t} \) = \(\frac{-\Delta \overrightarrow{p_{2}}}{\Delta t} \) ……………… (1)

परन्तु न्यूटन के द्वितीय नियम से \(\frac{\Delta \vec{p}_{1}}{\Delta t} \) = \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{12}\)
(अर्थात m₁ द्रव्यमान के पिण्ड पर m₂ द्रव्यमान वाले पिण्ड के कारण लगने वाला बल)
तथा \(\frac{\Delta p_{2}}{\Delta t}\) = \(\mathrm{F}_{21} \)
तब समी. (1) से,
\(\mathrm{F}_{12} \) =-\(\mathrm{F}_{21} \)

अर्थात् प्रथम द्रव्यमान पर द्वितीय द्रव्यमान द्वारा आरोपित बल एवं द्वितीय द्रव्यमान पर प्रथम द्रव्यमान द्वारा आरोपित बल बराबर एवं विपरीत हैं। यही न्यूटन का तृतीय नियम है।

प्रश्न 12.
घर्षण के नियम समझाइये।
उत्तर-
घर्षण के निम्न तीन नियम हैं

1. घर्षण बल का परिमाण संपर्क पृष्ठों की प्रकृति पर तथा उनके खुरदरेपन या चिकनेपन पर निर्भर करता है। यह स्पर्श पृष्ठों के क्षेत्रफल अथवा उनकी आकृति पर निर्भर नहीं करता।
2. घर्षण बल हमेशा संपर्क पृष्ठों के समान्तरं तथा गति की दिशा के विपरीत लगता है।
3. दो पृष्ठों के मध्य घर्षण बल का परिमाण उनके बीच अभिलंब प्रतिक्रिया के अनुक्रमानुपाती होता है। इस नियतांक को उन संपर्क पृष्ठों का घर्षण गुणांक कहते हैं,

अर्थात् f∝R या f = µR
या घर्षण गणांक µ = \(\frac{f}{\mathrm{R}}\) =
अभिलंब प्रतिक्रिया यदि वस्तु सीमान्त संतुलन में है तो घर्षण गुणांक को स्थैतिक घर्षण गुणांक µ_s , कहते हैं।
लेकिन यदि वस्तु एकसमान वेग से गतिमान होती है तो घर्षण गुणांक को गतिक घर्षण गुणांक µ_k कहते हैं । अर्थात्
सीमान्त घर्षण बल f_s = µ_sR
एवं गतिक घर्षण बल f_k = µ_sR
µ_s तथा µ_k, का मान संपर्क पृष्ठों की प्रकृति पर निर्भर करता है।

प्रश्न 13.
सी (या गतिक) घर्षण तथा बेल्लन (या लोटन) घर्षण में अन्तर बताइये।
उत्तर-
सपी घर्षण तथा बेल्लन घर्षण में अन्तर

सपी (या गतिक) घर्षण	बेल्लन (या लोटन) घर्षण
1. जब एक वस्तु दूसरी वस्तु के ऊपर फिसलती है तो दोनों वस्तुओं के संपर्क पृष्ठों के मध्य लगने वाले घर्षण बल को सी या गतिक घर्षण कहते हैं।	1. जब एक वस्तु को दूसरी पृष्ठ पर लुढ़काया जाता है तो दोनों वस्तुओं के संपर्क तलों के मध्य लगने वाले घर्षण बल को बेल्लन या लोटन घर्षण कहते हैं।
2. फिसलने वाली वस्तु के पृष्ठ का सदैव एक ही – पृष्ठ दूसरी वस्तु के संपर्क में रहता है।	2. लुढ़कने वाली वस्तु के पृष्ठ के भिन्न-भिन्न भाग दूसरी वस्तु के संपर्क में आते रहते हैं।
3. सी घर्षण का मान अधिक होता है।	3. बेल्लन घर्षण का मान कम होता है।

प्रश्न 14.
घर्षण कोण तथा विराम कोण की परिभाषा लिखिए तथा सिद्ध कीजिए कि घर्षण कोण, विराम कोण के बराबर होता है ?
उत्तर-
घर्षण कोण- वह कोण जो सीमान्त घर्षण बल तथा अभिलंब प्रतिक्रिया का परिणामी अभिलंब प्रतिक्रिया से बनाता है, घर्षण कोण कहलाता है। यदि घर्षण कोण λ है तो
tan λ = µ_s

विराम कोण-जब कोई पिण्ड किसी नतसमतल पर सीमान्त संतुलन की स्थिति में होता है तो नतसमतल का क्षैतिज से झुकाव कोण, विराम कोण कहलाता है। यदि विराम कोण θ है तो
tan θ= µ_s
स्पष्ट है कि
µ_s = tan λ = tan θ
या λ = 0
अर्थात् घर्षण कोण = विराम कोण।

प्रश्न 15.
घर्षण के विभिन्न प्रकार समझाइये।
उत्तर-

1. स्थैतिक घर्षण–यदि एक पृष्ठ को दूसरे पृष्ठ के संपर्क में रखकर खिसकाने का प्रयास करते हैं तथा फिर भी पृष्ठ विरामावस्था में रहते हैं तो दोनों पृष्ठों के मध्य लगने वाले घर्षण को स्थैतिक घर्षण कहते हैं।
2. गतिक या सी घर्षण-जब एक वस्तु को दूसरी वस्तु के पृष्ठ के संपर्क में रखकर एकसमान वेग से चलाया जाता है तो दोनों वस्तुओं के संपर्क पृष्ठों के मध्य लगने वाले घर्षण को गतिक या सी घर्षण कहते
3. लोटन या (बेल्लन) घर्षण-जब एक वस्तु को दूसरी वस्तु के पृष्ठ पर लुढ़काया जाता है तो उनके संपर्क तलों के मध्य लगने वाले घर्षण को लोटन या बेल्लन घर्षण कहते हैं।

प्रश्न 16.
स्थैतिक घर्षण के नियम लिखिये।
उत्तर-

स्थैतिक घर्षण हमेशा गति का विरोध करता है, इसकी दिशा सदैव गति की दिशा के विपरीत होती है।
सीमान्त घर्षण, सम्पर्क तलों की प्रकृति पर निर्भर करता है।
सीमान्त घर्षण सम्पर्क तलों के क्षेत्रफल या आकृति पर निर्भर नहीं करता यदि अभिलंब प्रतिक्रिया नियत हो।
सीमान्त घर्षण का मान f_s अभिलंब प्रतिक्रिया R के समानुपाती होता है। अर्थात्
f_s ∝R
f_s=µ_s.R
जहाँ µ_s को स्थैतिक घर्षण गुणांक कहते हैं।

प्रश्न 17.
घर्षण कोण से आप क्या समझते हैं ? सिद्ध कीजिए कि स्थैतिक घर्षण गुणांक घर्षण कोण की स्पर्शज्या (tangent) के बराबर होता है।
उत्तर-
घर्षणकोण-लघु उत्तरीय प्रश्न क्रमांक 14 देखें। चित्र में क्षैतिज पृष्ठ पर एक गुटका रखा हैं जो ठीक फिसलने की स्थिति में है।
गुटके पर निम्न बल कार्य करते हैं
(i) गुटके का भार w = mg ऊर्ध्वाधरतः नीचे की ओर ।
(ii) पृष्ठ की अभिलंब प्रतिक्रिया R (= W) ऊर्ध्वाधरतः ऊपर की ओर (पृष्ठ के लंबवत्)
(iii) बाह्य क्षैतिज बल F तथा
(iv) सीमान्त घर्षण बल, बाह्य बल की दिशा के विपरीत परिभाषानुसार घर्षण कोण ∠AOC = λ.

समकोण ΔCAO में,
tan λ = \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{OA}}\) = \(\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OA}}\) = \(\frac{f_{s}}{\mathrm{R}} \)
परन्तु
\(\frac{f_{s}}{\mathrm{R}} \) = µ_s
अतः
tan λ = µ_s
अर्थात् घर्षण कोण की स्पर्शज्या का मान घर्षण गुणांक के बराबर होता है।

प्रश्न 18.
विराम कोण से क्या तात्पर्य है ? सिद्ध कीजिए कि घर्षण कोण, विराम कोण के बराबर होता है ?
उत्तर-
विराम कोण-लघु उत्तरीय प्रश्न क्रमांक 14 देखें।
यदि किसी नतसमतल या क्षैतिज से झुकाव θ है। तब इस स्थिति में पिण्ड पर निम्न तीन बल कार्य करते

1. पिण्ड का भार mg नीचे की ओर
2. अभिलंब प्रतिक्रिया R नतसमतल के लंबवत् ऊपर की ओर।
3. सीमान्त घर्षण f_s नतसमतल के अनुदिश ऊपर की ओर। पिण्ड के भार mg को दो घटकों में वियोजित किया जा  सकता है
   (i) mg cosθ नतसमतल के लंबवत्
   (ii) mg sinθ नतसमतल के समान्तर संतुलन

अवस्था में,
R = mg cosθ ……………………. (1)
f_s = mg sinθ …………………….. (2)
समी. (2) में समी. (1) का भाग देने पर,

अर्थात् घर्षण कोण तथा विराम कोण परस्पर बराबर होते हैं।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
संवेग संरक्षण नियम से आप क्या समझते हैं ? सिद्ध कीजिए कि बाह्य बल की अनुपस्थिति में किसी भी गतिमान कण का रेखीय संवेग नियत रहता है।
उत्तर-
रेखीय संवेग संरक्षण नियमानुसार यदि किसी निकाय पर कोई बाह्य बल आरोपित नहीं होता है. तो उसका कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है। इसे निम्नलिखित दो परिस्थितियों में सिद्ध किया जा सकता है
(i) एक कण निकाय के लिए-न्यूटन के द्वितीय नियमानुसार कण पर लगने वाला बल = संवेग परिवर्तन की दर
अर्थात् \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) = \(\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}\)
यदि कण पर लगाया गया बल शून्य है अर्थात् यदि \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) = 0 है।
\(\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}\) = 0
या \(\Delta \vec{p}\) = 0
या \(\vec{p}\) = नियतांक अर्थात् बाह्य बल की अनुपस्थिति में किसी भी गतिमान बल का रैखिक संवेग नियत रहता है।

(ii) दो कणों के निकाय के लिए-माना दो कणों का एक निकाय है जिसमें से एक कण दूसरे कण पर बल \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{2}\) लगाता है तथा दूसरा कण पहले कण पर बल F₁ लगाता है। यदि इन कणों के संवेग परिवर्तन \(\Delta \vec{p}_{1}\) तथा \(\Delta \overrightarrow{p_{2}}\) होता है तो न्यूटन के द्वितीय नियम से
बल = संवेग परिवर्तन की दर अतः प्रथम कण पर बल है \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\mathrm{l}}\) =\(\frac{\Delta \vec{p}_{1}}{\Delta t}\)
एवं द्वितीय कण पर बल \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{2}\) = \(\frac{\Delta \vec{p}_{2}}{\Delta t}\)
लेकिन न्यूटन के तृतीय नियमानुसार,
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\mathrm{1}}\) = -F₂

अर्थात् \(\frac{\overrightarrow{\Delta p_{1}}}{\Delta t}\) = – \(\frac{\Delta \vec{p}_{2}}{\Delta t}\)
या
\(\frac{\overrightarrow{\Delta p}_{1}}{\Delta t}+\frac{\Delta \vec{p}_{2}}{\Delta t}\) = 0
या \(\frac{\Delta\left(\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2}\right)}{\Delta t}\) = 0
या \(\vec{p}_{1}+\overrightarrow{p_{2}}\) = नियतांक ……………………………….. (2)

यदि m₁ तथा m₂, द्रव्यमान के दो कणों के अन्योन्य क्रिया से पूर्व वेग क्रमशः \(\vec{u}_{1}\) तथा \(\vec{u}_{2} \) हैं एवं अन्योन्य क्रिया के बाद वेग क्रमशः \(\vec{v}_{1}\) तथा \(\vec{v}_{2}\) हैं, तो अन्योन्य क्रिया के पूर्व कुल संवेग = m₁\(\vec{u}_{1}\)+m₂\(\vec{v}_{2}\) तथा
अन्योन्य क्रिया के बाद कुल संवेग = m₁\(\vec{v}_{1}\)+m₂\(\vec{v}_{2}\)
अतः संवेग संरक्षण नियम से, m₁\(\vec{u}_{1}\)+m₂\(\vec{u}_{2} \) = m₁\(\vec{v}_{1}\)+m₂\(\vec{v}_{2}\) ………………………… (3)
अर्थात्, बाहरी बलों की अनुपस्थिति में दो कणों का निकाय का कुल रैखिक संवेग नियत रहता है।

प्रश्न 2.
किसी वृत्तीय मोड़ पर गतिशील वाहन की अधिकतम सुरक्षित चाल के लिए व्यंजक ज्ञात करो जबकि
(i) घर्षण शून्य है,
(ii) सड़क समतल है,
(iii) सड़क बंकित है।
उत्तर-
मानलो m द्रव्यमान की कोई कार किसी θ ढाल वाली सड़क पर r त्रिज्या के वृत्तीय मार्ग पर वृत्तीय गति कर रही है। तब कार । पर निम्नलिखित बल कार्य करते हैं
(i) कार का भार mg ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर,
(ii) अभिलंब प्रतिक्रिया R ऊर्ध्वाधर से θ कोण पर
(iii) अभिकेन्द्र बल \(\frac{m v^{2}}{r}\) केन्द्र की ओर
(iv) टायर और जमीन के मध्य घर्षण बल F.
चित्र में कार पर कार्य करने वाले विभिन्न बलों को प्रदर्शित किया गया है। अभिलंब प्रतिक्रिया R ऊर्ध्वाधर से θ कोण बनाता है अतः इसके दो घटक प्राप्त किये जा सकते हैं
(a) Rcosθ ऊर्ध्वाधर घटक,
(b) Rsinθ क्षैतिज घटक।

बल F क्षैतिज θ से कोण बनाता है। इसके भी दो घटक प्राप्त कर सकते हैं –
(a) F cos θ क्षैतिज घटक,
(b) F sin θ ऊर्ध्वाधर घटक।
इस प्रकार स्पष्ट है कि
R cos θ = mg + F sin θ …………………….. (1)
R sin θ+ F cos θ= \(\frac{m v^{2}}{r}\) ……………………. (2)
एवं F= µ.R …………………….. (3)
यहाँ µ गतिक घर्षण गुणांक है।
समी. (1) से,
mg = R cos θ-F sin θ ……………………. (4)

समी. (2) में समी. (4) का भाग देने पर,
\(\frac{m v^{2} / r}{m g}\) = \(\frac{\mathrm{R} \sin \theta+\mathrm{F} \cos \theta}{\mathrm{R} \cos \theta-\mathrm{F} \sin \theta}\)
या \(\frac{v^{2}}{r g}\) = \(\frac{\frac{R \sin \theta}{R \cos \theta}+\frac{F}{R}}{1-\frac{F \sin \theta}{R \cos \theta}}\) = \(\frac{\tan \theta+\mu}{1-\mu \tan \theta}\)
या v² = rg \(\left(\frac{\tan \theta+\mu}{1-\mu \tan \theta}\right)\) ……………………… (5)
(i) जब घर्षण शून्य है अतः
µ= 0 रखने पर समी. (5) से, ..
v² = rg\(\left(\frac{\tan \theta+0}{1-0}\right)\) =rg tanθ
या v=\(\sqrt{r g \tan \theta}\) ………………………. (6)

(ii) जब सड़क समतल है तब θ = 0 रखने पर समी. (5) से,
v² = rg \(\left(\frac{\tan 0^{\circ}+\mu}{1-\mu \tan 0^{\circ}}\right)\) = rg(µ)
या v= \(\sqrt{\mu r g}\) ………………………….. (7)

(iii) जब सड़क बंकित है तब समी. (5) से,
v = \(\sqrt{r g\left(\frac{\tan \theta+\mu}{1-\mu \tan \theta}\right)}\) …………………….. (8)

आंकिक प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित पर कार्यरत नेट बल का परिमाण व उसकी दिशा लिखिए-
(i) एकसमान चाल से गिरती वर्षा की कोई बूंद,
(ii) जल में तैरता 10g संहति का कोई कॉर्क,
(iii) कुशलता सेआकाश में स्थिर रोकी गई पतंग,
(iv) 30 kmh^-1 के एकसमान वेग से ऊबड़-खाबड़ सड़क पर गतिशील कोई कार,
(v) सभी गुरुत्वीय पिण्डों से दूर तथा वैद्युत् और चुम्बकीय क्षेत्रों से युक्त, अतंरिक्ष में तीव्र चाल वाला इलेक्ट्रान।
उत्तर-
(i) वर्षा की बूंद का त्वरण शून्य है, अतः उस पर कार्यरत नेट परिणामी बल शून्य होगा।
(ii) जल में तैरता कॉर्क पर नेट परिणामी बल शून्य होगा, क्योंकि कार्क भार, जल द्वारा आरोपित उत्प्लावन बल से संतुलित है।
(iii) आकाश में स्थिर पतंग का त्वरण शून्य है, अत: उस पर कार्यरत नेट परिणामी बल शून्य होगा।
(iv) कार का त्वरण शून्य होने के कारण उस पर कार्यरत नेट परिणामी बल शून्य होगा।
(v) इलेक्ट्रॉन सभी बलों से मुक्त है, अतः इस स्थिति में उस पर कार्यरत नेट बल शून्य होगा।

प्रश्न 2.
15 मीटर / सेकण्ड की आरंभिक चाल से गतिशील 20 किलोग्राम संहति के पिण्ड पर 50N का मंदन बल आरोपित किया गया। पिण्ड को रुकने में कितना समय लगेगा?
उत्तर-
दिया है-पिण्ड की आरंभिक चाल µ = 15 मीटर / सेकण्ड पिण्ड की संहति m = 20 किलोग्राम
पिण्ड पर कार्यरत मंदन बल F = 50 N
पिण्ड का अंतिम वेग v=0

पिण्ड पर कार्यरत मंदन a= \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}\) =\(\frac{50}{20}\) = 2.5 मीटर / सेकण्ड²
पिण्ड को रुकने में लगा समय
v = u +at
0 = 15 + (-2.5)t
था
t = \(\frac{15}{2 \cdot 5}\) = \(\frac{150}{25}\) = 6 सेकण्ड।

प्रश्न 3.
5.0 किग्रा संहति पर 8N एवं 6N के दो लम्बवत् बल आरोपित हैं। पिण्ड के त्वरण का परिमाण एवं दिशा ज्ञात कीजिए।
उत्तर-
F₁ एवं F₂ के मध्य का कोण 90° है।
पिण्ड पर कार्यरत परिणामी बल
F= \(\sqrt{F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+2 F_{1} F_{2} \cos 90^{\circ}} \),
F=\(\sqrt{\mathrm{F}_{1}^{2}+\mathrm{F}_{2}^{2}}\) (cos 90° = 0)
F=\(\sqrt{8^{2}+6^{2}}\) = \(\sqrt{64+36}\)
=\(\sqrt{100}\) = 10N
a = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}\) = \(\frac{10}{5}\) = 2 मीटर / सेकण्ड²

त्वरण, बल की दिशा में कार्यरत है अत: F₁ के सापेक्ष त्वरण की दिशा .
tan α = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OA}}\) = \(\frac{6}{8}\) = 0.7500
या α = tan^-1
∴ α =36°53.

प्रश्न 4.
5 किग्रा द्रव्यमान की एक वस्तु पर एक बल लगाने से उसमें 10 मीटर/सेकण्ड² का त्वरण उत्पन्न हो जाता है। लगाये गये बल की गणना कीजिये।
हल-दिया है- m = 5 किग्रा, त्वरण a =-10 मीटर/सेकण्ड²
तब बल F= m.a से,
या F= 5 × 10
या F= 50 न्यूटन।

प्रश्न 5.
दो गोले जिनके द्रव्यमान 10 किग्रा तथा 20 किग्रा हैं, क्रमशः 10 मीटर/सेकण्ड तथा 20 मीटर/सेकण्ड के वेग से एक-दूसरे की ओर आ रहे हैं। यदि वे टकराकर जुड़ जायें तो संयुक्त गोला किस वेग से चलेगा?
हल-दिया है- m₁= 10 किग्रा, m₂= 20 किग्रा, v₁= 10 मी/से., v₂ =-20 मी/से.
माना संयुक्त गोले का वेग v है तब संवेग संरक्षण नियम से,
m₁v₁+m₂v₂ = (m₁ +m₂)v
या (10 × 10- 20 × 20) = (10+20) v
या 100-400 = 30v
या 30v=-300
या v = \(\frac{-300}{30}\) = -10 मीटर/सेकण्ड
30 अत: संयुक्त गोला 10 मीटर/सेकण्ड के वेग से 20 किग्रा द्रव्यमान के गोले की गति की दिशा में चलेगा।

प्रश्न 6.
100 किग्रा द्रव्यमान के एक तोप से 0.02 किग्रा द्रव्यमान का एक गोला 80 मीटर/सेकण्ड के वेग से दागा जाता है तो तोप का प्रतिक्षिप्त वेग क्या होगा? —
हल-दिया है- M = 100 किग्रा, m = 0.02 किग्रा, v₂, = 80 मीटर/सेकण्ड, v₁= ? (तोप का प्रतिक्षिप्त वेग)
Mv₁ + mv₂ = 0, (संवेग संरक्षण नियम से) .
100 × v₁+0.02 × 80 = 0
या v₁ = \(\frac{-0 \cdot 02 \times 80}{100}\)
v₁ = -0.016 मीटर/सेकण्ड।

प्रश्न 7.
10 ग्राम द्रव्यमान की एक गोली 250 मीटर/सेकण्ड के वेग से चलती हुई एक दीवा.. 2.5 सेमी घुसकर रुक जाती है। दीवार द्वारा गोली पर लगाये गये बल की गणना कीजिये। सेमी
हल-दिया है- u = 250 मीटर/सेकण्ड, चूँकि गोली रुक जाती है अतः v = 0, s = 2.5 = 2.5 × 10^-2 मीटर, m = 10 gm = 0.01 किग्रा।
समीकरण v² = u² +2as से,
0 = (250)² +2a × 2.5 × 10^-2
∴ a = \(\frac{-(250 \times 250)}{2 \times 10^{-2} \times 2 \cdot 5}\) = -1.25 × 10⁶ मीटर/सेकण्ड²
अत: दीवार द्वारा गोली पर आरोपित बल
F= m.a = 0.01 × (-1.25 × 10⁶) = -1.25 × 10⁶ न्यूटन।
(-) ve चिन्ह बताता है कि बल गोली की गति की दिशा के विपरीत है।

प्रश्न 8.
5 किग्रा द्रव्यमान की वस्तु पर 10 न्यूटन का बल 5 सेकण्ड तक कार्य करता है। ज्ञात कीजिए
(i) बल का आवेग,
(ii) वस्तु के संवेग में परिवर्तन,
(iii) वस्तु के वेग में परिवर्तन,
(iv) वस्तु का त्वरण।
हल-दिया है-m = 5 किग्रा, F= 10 न्यूटन, Δt = 5 सेकण्ड
(i) बल का आवेग = F.Δt
= 10 × 5 = 50 न्यूटन सेकण्ड।

(ii) वस्तु के संवेग में परिवर्तन = बल का आवेग
= 50 किग्रा मीटर/सेकण्ड।

(iii) वस्तु के वेग में परिवर्तन =img
या 4v=\(\frac{50}{5}\) = 10 मीटर/सेकण्ड।
(iv) त्वरण .
a = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}\)
या
a =\(\frac{10}{5}\) =2 मीटर/सेकण्ड²।

प्रश्न 9.
एक कार चालक ब्रेक लगाकर कार को 5 सेकण्ड में रोक देता है यदि कार का वेग 72 किमी/घंटा हो तो कार पर अवरोधी बल की गणना कीजिए जबकि कार का द्रव्यमान 100 किग्रा तथा कार चालक का द्रव्यमान 50 किग्रा है ?
हल-दिया है- v₍₀₎= 72 किमी/घंटा = \(\frac{72 \times 1000}{60 \times 60}\)
= 20 मीटर/सेकण्ड
v(t) = 0 (कार रुक जाती है)
सूत्र v_(t) = v₍₀₎ + a .t से
या 0 = 20+5a
या a = -4 मीटर/सेकण्ड²
पुनः सूत्र F = m.a से,
F= 150 × (-4)= -600 न्यूटन।

प्रश्न 10.
एक रॉकेट में 1 किग्रा/सेकण्ड की दर से ईंधन जल रहा है। रॉकेट से निकली गैस का 12 किमी/सेकण्ड है। गैस द्वारा रॉकेट पर लगाया गया प्रणोद ज्ञात कीजिये।
हल-दिया है- v=2 किमी/सेकण्ड = 2 × 10³ मीटर/सेकण्ड
\(\frac{\Delta m}{\Delta t}\) = 1 किग्रा/सेकण्ड
∴ प्रति सेकण्ड गैस के संवेग में परिवर्तन = \(\frac{\Delta m}{\Delta t}\) × v
= 1 × 2 × 10³ = 2 × 10³ किग्रा मीटर/सेकण्ड²

परन्तु गैस पर लगने वाला बल = प्रति सेकण्ड गैस के संवेग में परिवर्तन
=2 ×10³ न्यूटन
∴ गैस द्वारा रॉकेट पर लगाया गया प्रणोद (बल) = गैस पर रॉकेट द्वारा आरोपित बल
= 2 × 10³ न्यूटन।

प्रश्न 11.
5 किग्रा का एक स्थिर बम अचानक दो टुकड़ों में फटता है। इसमें 4 किग्रा का एक टुकड़ा 50 मीटर/सेकण्ड के वेग से बायीं ओर जाता है तो 1 किग्रा के टुकड़े की गति बताइये।
हल-बम का द्रव्यमान m = 5 किग्रा बम का फटने के पूर्व वेग v= 0
माना बम के फटने के बाद दो टुकड़ों के द्रव्यमान m₁ तथा m₂ हैं तथा उनके वेग क्रमशःv₁ एवं v₂ हैं। संवेग संरक्षण नियम से,
m × v = m₁v₁ + m₂v₂
5 × 0 = 4 × 50 +1 × v₂
0 = 200+v₂
v₂ = -200 मीटर/सेकण्ड।

प्रश्न 12.
एकसमान वेग से गतिशील पिण्ड को 2000 न्यूटन का बल लगाकर \(\frac{1}{4}\) सेकण्ड में रोक दिया जाता है। पिण्ड के प्रारंभिक संवेग की गणना कीजिए।
हल-दिया है-F = 2000 न्यूटन, Δt =\(\frac{1}{4}\) = 0.25 सेकण्ड ,
संवेग में परिवर्तन Δp= F.Δt .

चूँकि प्रारंभिक संवेग p₁ तथा अंतिम संवेग p₂ हो तो
Δp = p₁ – p₂ = p₁ – 0 = P₁, (क्योंकि पिण्ड रुक जाता है)
अत: p₁ = F.Δt = 2000 × \(\frac{1}{4}\) = 500 न्यूटन-सेकण्ड।

प्रश्न 13.
40 किग्रा तथा 10 किग्रा द्रव्यमान की दो गोल वस्तुएँ 5 मीटर/सेकण्ड तथा 20 मीटर/ सेकण्ड के वेग से चल रही हैं। इनकी दिशा एक-दूसरे की ओर है। कुछ समय पश्चात् टकराने पर वे जुड़कर एक निकाय बनाती हैं। निकाय का वेग ज्ञात कीजिए।
हल-दिया है-m₁ = 40 किग्रा, m₂=10 किग्रा, v₁= 5 मी/से, v₂=-20 मी/से (चूँकि दिशाएँ विपरीत
यदि जुड़ने पर निकाय का वेग v हो तो संवेग संरक्षण नियम से,
m₁v₁ +m₂v₂ = (m₁ + m₂)v
∴ v= \(\frac{m_{1} v_{1}+m_{2} v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\) = \(\frac{40 \times 5+10(-20)}{40+10}\) = \( \frac{200-200}{50}\) = 0
v=0 अर्थात् निकाय रुक जायेगा।

प्रश्न 14.
25 किग्रा द्रव्यमान का बम का गोला जो कि 10 मी/से. वेग से गतिमान है। अचानक फटकर दो टुकड़ों में टूट जाता है जिनके द्रव्यमान 15 किग्रा तथा 10 किग्रा हैं। यदि बड़े टुकड़े का वेग शून्य हो तो छोटे टुकड़े का वेग क्या होगा ? हल-बम के गोले (M = 25 kg, v = 10 मी/से.) का प्रारंभिक संवेग = Mv = 25 × 10 = 250 किग्रा मीटर/सेकण्ड विस्फोट के उपरान्त माना छोटे टुकड़े (m₁= 10 किग्रा) का वेग , है तथा बड़े टुकड़े (m₂ = 15 किग्रा) का वेग v₂ (= 0) है तो
कुल संवेग =m₁v₁ + m₂v₂ = 10 × v₁ +15 × 0 = 10v₁, अतः संवेग संरक्षण के सिद्धांत से.
प्रारंभिक संवेग = विस्फोट के बाद कुल संवेग
अर्थात् 250 = 10v₁
∴ v₁ = 25 मीटर/सेकण्ड।

प्रश्न 15.
72 न्यूटन का एक बल क्षैतिज से 60° के कोण पर एक 9 किग्रा के पिण्ड पर आरोपित है। पिण्ड में क्षैतिज दिशा में कितना त्वरण है ? ।
हल- F= 72 न्यूटन, θ = 60°, m = 9 किग्रा
क्षैतिज दिशा में बल का घटक F_x = F cos θ
या F_x = 72 × cos60° = 72×\(\frac{1}{2}\) = 36 न्यूटन
अतः क्षैतिज दिशा में त्वरण a_x =\(\frac{\mathrm{F}_{x}}{m}\)
या a_x =\(\frac{36}{9}\) = 4 मी/से.।

प्रश्न 16.
12 मी/से. के वेग से गतिमान 0.25 किग्रा की एक वस्तु को 0-6 न्यूटन का बल लगाकर रोका जाता है। वस्तु कितने समय में रुक जायेगी ? बल का आवेग ज्ञात कीजिए।
हल-u= 12,मी/से., m = 0.25 किग्रा, F = 0.6 न्यूटन
माना वस्तु t सेकण्ड में रुक जाती है। अतः
त्वरण a = –\(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}\) = \(\frac{-0 \cdot 6}{0 \cdot 25}, = [latex]\frac{-12}{5} \) मी/से²

एवं v = u + at से
∴ \(\frac{12}{5}\) t = 12
t= 5 सेकण्ड
एवं बल का आवेग = F × Δt = 0.6 × 5 = 3 न्यूटन × सेकण्ड।

प्रश्न 17.
30 मी/से. के वेग से चलती हुई 25 ग्राम की गोली बालू के ढेर में घुसकर 3 सेमी के श्चात् वेग रहित हो जाती है। बालू द्वारा गोली पर लगाये अवरोध बल की गणना कीजिए।
हल-u= 30 मी/से., m = 25 ग्राम = 25 × 10^-3 किग्रा, s = 3 सेमी = 3 ×10^-2 मीटर, v = 0
सूत्र से v²=u² +2as
0 = 900-2a × 3 × 10^-2
∴ a = \(\frac{900}{2 \times 3 \times 10^{-2}}\) = 1.5×10⁴ मी/से.²
अतः अवरोध बल F = ma
F = 25 × 10^-3 × 1.5 × 10⁴ = 375 न्यूटन।

प्रश्न 18.
किसी व्यक्ति की संहति 70 किग्रा है। वह एक गतिमान लिफ्ट में तुला पर खड़ा है जो
(i) 10 मीटर/सेकण्ड की चाल से ऊपर जा रही है,
(ii) 5 मीटर/सेकण्ड के एकसमान त्वरण से नीचे जा रही है,
(iii) 5 मीटर/सेकण्ड के एकसमान त्वरण से ऊपर जा रही है, तो प्रत्येक में तुला के पैमाने का पाठ्यांक क्या होगा?
(iv) यदि लिफ्ट की मशीन में खराबी आ जाये और वह गुरुत्वीय प्रभाव में मुक्त रूप से नीचे गिरे तो पाठ्यांक क्या होगा?
हल-
(i) यदि व्यक्ति किसी सतह पर खड़ा है तो सतह द्वारा ऊपर की आरोपित अभिलम्ब प्रतिक्रिया व्यक्ति के भार का मापन करता है।
प्रथम स्थिति में त्वरण शून्य है अत: व्यक्ति के भार में कोई परिवर्तन नहीं होगा । R = mg = 70 × 9.8 = 686 न्यूटन।

(ii) लिफ्ट एकसमान त्वरण से नीचे की ओर जा रही है, अत: परिणामी बल ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्यरत है।
mg – R = ma
व्यक्ति का आभासी भार R = m(g-a)
R = 70 (9.8-5)
R = 70 × 48 = 336 न्यूटन।

(iii) लिफ्ट एकसमान त्वरण से ऊपर की ओर जा रही है अत: व्यक्ति पर नेट बल ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर कार्यरत है।
R-mg = ma
R = m(g+a)
R = 70(9.8+5)
व्यक्ति का आभासी भार R= 70 × 14.8 = 1036 न्यूटन।

(iv) यदि लिफ्ट गुरुत्वीय बल के अधीन स्वतंत्रतापूर्वक नीचे की ओर गिरे तो यह भारहीनता की स्थिति होगी।
R = m (g-a)
R = m (g-g) (∴ a = g)
R=0 पैमाने का पाठ्यांक शून्य होगा।

प्रश्न 19.
8 किग्रा तथा 12 किग्रा के दो पिण्डों को किसी हल्की अवितान्य डोरी, जो घर्षणरहित घिरनी पर चढ़ी है, के दो सिरों से बाँधा गया है। पिण्डों को मुक्त छोड़ने पर उनके त्वरण तथा डोरी तनाव ज्ञात कीजिए। (g- 10 मीटर/सेकण्ड²)
हल-चित्रानुसार m₁, त्वरण ‘a’ से ऊपर की ओर जा रही है अत:m₁, के लिए गति के समीकरण
T-m₁g = m₁a
m₂, त्वरण ‘a’ से नीचे की ओर जा रही है अतः m₂ के लिए गति के समीकरण,
m₂g-T = m₂a
समी. (1) एवं (2) को जोड़ने पर,
(m₂ – m₁)g = (m₂ + m₁ )a

या त्वरण
a = \(\frac{\left(m_{2}-m_{1}\right) g}{m_{2}+m_{1}} \) = \(\frac{40}{20}\) = 2 मी/से.²

प्रश्न 20.
जब 50 किग्रा भार का बल 500 किग्रा के स्लेज पर लगाया जाता है तो स्लेज ठीक से चलने को तैयार होता है। उनके मध्य घर्षण गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल-दिया है- f_s= F = 50 किग्राभार = 50 × g न्यूटन, R = 500g न्यूटन
अत: µ_s = \(\frac{f_{s}}{\mathrm{R}}\)
µ_s = \(\frac{50 g}{500 g}\) = 0.1

प्रश्न 21.
2 किग्रा द्रव्यमान का एक पिण्ड एक नतसमतल पर रखा है। जो क्षैतिज से 30° के कोण पर झुका है। यदि तल तथा त्रिज्या के बीच का घर्षण गुणांक 0.7 हो तो घर्षण बल का परिमाण ज्ञात कीजिये।
हल-दिया है-m = 2 किग्रा, θ = 30° तथा µ_s = 0.7
तब µ_s = \(\frac{f_{s}}{\mathrm{R}}\) से
या f_s=µ_s . R
या f_s =µ_s ,mg cosθ
f_s = 0.7 × 2 × 9.8 × cos30° = 9.8\(\sqrt{3} \) न्यूटन।

प्रश्न 22.
एक कार 14 मी/से. की चाल से गतिमान है, ब्रेक लगाने पर 20 मीटर चलकर रुक जाती है। ब्रेक लगाने पर गति का विरोध करने वाले घर्षण बल का मान कार के भार का कितना गुना है?
हल-दिया है, u = 14 मी/से., s = 20 मीटर, v = 0, मन्दन a = ?
सूत्र v² = u² +2as से,
0 = 14² +2a × 20
-196 = 40a
∴ a= – \(\frac{196}{40}\) = – \(\frac{49}{10}\) =-4.9 मी/से.
अत: विरोधी घर्षण बल F = + ma.
F = + ma (4.9)

∴ F = m × 4.9.
एवं कार का भार W = mg
∴ \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{W}}\) = \(\frac{m \times 4 \cdot 9}{m \times 9 \cdot 8}\) = \(\frac{1}{2}\) गुना |

प्रश्न 23.
एक किग्रा का एक ब्लॉक एक ट्रक में क्षैतिज तल पर रखा है। ब्लॉक तथा तल के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0-6 है। यदि ट्रक का त्वरण 10 मी/से है तो ब्लॉक पर लगाया गया घर्षण बल ज्ञात कीजिए।
हल-दिया है, µ_s, = 0.6, a = 10 मी/से²., m₁, = 1 किग्रा
ब्लॉक पर लगाया गया घर्षण बल =µ_s.m₁g-m₁a
= 0.6 × 1 × 9.8-1 ×10 = 5.88-10 =-4.12 न्यूटन।

प्रश्न 24.
100 किग्रा द्रव्यमान का एक व्यक्ति बिजली के खंभे से फिसलता है। यदि घर्षण बल 480 न्यूटन हो तो व्यक्ति का त्वरण ज्ञात कीजिए जबकि g = 9.8 मी/से². है।
हल-दिया है, m = 100 किग्रा, घर्षण बल F = 4800 न्यूटन, g= 9.8 मी/से.²
माना व्यक्ति का त्वरण = a
तब गति के द्वितीय समी. से,
ma = mg-F
या a = g – \(\frac{\mathrm{F}}{m}\)
या a =9.8 – \(\frac{480}{100}\) = 9.8-4.8 = 5 मी/से.²।

प्रश्न 25.
एक कार सीधी सड़क पर 20 मी/से. की चाल से गतिमान है। यदि टायरों तथा सड़क के बीच घर्षण गुणांक 0.4 हो, तो कितनी दूरी चलकर कार रुक जायेगी ? (g = 10 मी/से.²)
हल-दिया है, u = 20 मी/से., µ= 0.4, g = 10 मी/से.²
माना कार का मंदन = a तथा कार का द्रव्यमान =M है।
तब µ = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{R}}\) से
या µ = \(\frac{\mathrm{M} \cdot a}{\mathrm{Mg}}\) = \(\frac{a}{g}\)
या a = µ g = 0.4 × 10 = 4 मी/से.²
माना कार s दूरी चलकर रुक जाती है, तब v = 0 होगा। अतः
सूत्र से, v²=u -2as
0 =u² -2as
या s = \(\frac{u^{2}}{2 a}\) = \(\frac{20^{2}}{2 \times 4}\) = 50 मीटर।

प्रश्न 26.
एक खुरदरे क्षैतिज तल पर 3 किलोग्राम द्रव्यमान के गुटके को 1.2 किग्रा भार के क्षैतिज बल से खींचा जाता है। यदि तल तथा गुटके के बीच घर्षण गुणांक 0.2 हो तो गुटके में उत्पन्न त्वरण ज्ञात कीजिए।
हल-दिया है, m = 3 किग्रा, µ= 0.2,F = 1.2 किग्रा भार = 1.2 × 9.8 न्यूटन
माना गुटके में उत्पन्न त्वरण = a
∵ µ = \(\frac{f_{k}}{m g}\)
∴ f_k=µ.mg = 0.2 × 3 × 9.8 = 5.88 न्यूटन

माना बल लगाने पर गुटके में त्वरण a उत्पन्न होता है।
f = F-f_k = 1.2 × 9.8 -5.88
= 11.76 – 5.88 = 5.88 न्यूटन
अतः
त्वरण a = \(\frac{f}{m}\) = \(\frac{5 \cdot 88}{3}\)
∴ a = 1.96 मी/से².|

प्रश्न 27.
4 किग्रा द्रव्यमान का एक पिण्ड 8 मीटर व्यास के वृत्ताकार मार्ग पर 600 मीटर/मिनट की एकसमान चाल से घूम रहा है। अभिकेन्द्र त्वरण और अभिकेन्द्र बल की गणना कीजिए।
हल-दिया है- m = 4 किग्रा, r = \(\frac{8}{2}\) = 4 मीटर, y= 600 मीटर/मिनट = \(\frac{600}{60}\) मीटर/सेकण्ड = 10 मीटर/सेकण्ड

अतः अभिकेन्द्र त्वरण = \(\frac{v^{2}}{r}\) = \(\frac{10^{2}}{4}\)
=\(\frac{100}{4}\) = 25 मीटर/सेकण्ड²।
अभिकेन्द्र बल = \(\frac{m v^{2}}{r}\) = 4 × 25 = 100 न्यूटन।

प्रश्न 28.
एक डोरी अधिक-से-अधिक 100 न्यूटन का बल बिना टूटे सह सकती है। इस डोरी के 1 मीटर लंबे टुकड़े के एक सिरे पर 1 किग्रा का पिण्ड बाँधकर उसे क्षैतिज तल में घुमाया जाता है। ज्ञात कीजिए कि पिण्ड को अधिकतम कितनी रेखीय चाल से घुमाया जाये कि डोरी न टूटे।
हल-पिण्ड को क्षैतिज तल में घुमाने पर अभिकेन्द्र बल रस्सी के तनाव से प्राप्त होगा। दिया है-अधिकतम अभिकेन्द्र बल = 100 न्यूटन, m = 1 किग्रा, r = 1 मीटर।
अतः अभिकेन्द्र बल F =\(\frac{m v^{2}}{r}\) से
या 100 = \(\frac{1 \times v^{2}}{1}\)
∴ v = 10 मीटर/सेकण्ड।

प्रश्न 29.
एक मोटर साइकिल सवार क्षैतिज वृत्ताकार पथ पर 36 किमी/घण्टा के वेग से घूम रहा है। अपना संतुलन बनाये रखने के लिए वह अंदर की ओर कितना झुकेगा? वृत्तीय पथ की परिधि 800 मीटर है।
हल-दिया है-v = 36 किमी/घण्टा = \(\frac{36 \times 1000}{60 \times 60}\) = 10 मीटर/सेकण्ड
2.πr = 800 मीटर
∴ r = \(\frac{800}{2 \pi}\)
सूत्र tanθ = \(\frac{v^{2}}{r g}\) में रखने पर,
tan θ = \(\frac{10^{2} \times 2 \pi}{800 \times 9 \cdot 8}\) = \(\frac{10 \times 10 \times 2 \times 3 \cdot 14}{800 \times 9 \cdot 8}\) = 0.08
θ = 4.5⁰.

प्रश्न 30.
किसी समतल सड़क पर 16 किमी/घण्टे की चाल से साइकिल चलाता हुआ कोई किल सवार अपनी चाल को कम किए बिना 3 मीटर त्रिज्या की किसी तेज वृत्तीय मोड़ को काटता टायरों तथा सड़कों के मध्य स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.1 है। क्या साइकिल सवार मोड़ काटते हुए लेगा?
हल- साइकिल सवार फिसले नहीं इसके लिए आवश्यक शर्त है कि
v² ≤ μ_s.rg
दिया है- v= 16 किमी/घण्टा = \(\frac{16 \times 1000}{60 \times 60}\) = \(\frac{40}{9}\) मीटर/सेकण्ड,
μ_s, = 0.1, r = 3 मीटर
∴ (v²) = \(\left(\frac{40}{9}\right)^{2}\) = \(\frac{1600}{81}\) = 19.75
तथा μ_s. rg= 0.1 × 3 × 9.8 = 2.94
स्पष्ट है कि v² >μ_s rg
अतः मोड़ काटते हुए साइकिल सवार फिसल जायेगा।

प्रश्न 31.
रेल की पटरियाँ 1 मीटर के अन्तर पर हैं। 500 मीटर त्रिज्या वाले मोड़ पर बाहर वाली पटरी को अन्दर वाली पटरी से कितना ऊपर उठाया जाये कि 30 मीटर/सेकण्ड की चाल से एक रेलगाड़ी उसके ऊपर से बिना घर्षण निकल जाये ?
हल-दिया है-r= 500 मीटर, y= 30 मीटर/सेकण्ड घर्षण बल शून्य होने पर
v=\(\sqrt{r g \tan \theta}\)
या tan θ= \(\frac{v^{2}}{r g}\) = \(\frac{30^{2}}{500 \times 9 \cdot 8}\)
या tanθ = 0.187
∴ θ = tan^-1(0.1837) = 10.4°
चित्र से, sinθ = \(\frac{h}{1}\)
था h = 1 × sin θ= sin(10.4)° = 0.1837 मीटर लगभग।

प्रश्न 32.
एक हवाई जहाज 1 किमी त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में 900 किमी/घण्टा की समय चाल से चक्कर पूरा करता है। इसके अभिकेन्द्र त्वरण तथा गुरुत्व जनित त्वरण की तुलना कीजिए।
हल-दिया है-r= 1 किमी = 1000 मीटर, y= 900 किमी/घण्टा
v =\(\frac{900 \times 1000}{60 \times 60}\) मीटर/सेकण्ड = 250 मीटर/सेकण्ड
अब अभिकेन्द्र त्वरण a = \(\frac{v^{2}}{r}\)
या a = \(\frac{250 \times 250}{1000}\) = 62.5 मीटर/सेकण्ड²
अब \(\frac{a}{g}\) = \(\frac{62 \cdot 5}{9 \cdot 8}\) = 6.38

प्रश्न 33.
पानी से भरी एक छोटी बाल्टी को 1.6 मीटर लंबी रस्सी के एक सिरे से बाँधकर ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाया जाता है। वृत्त के उच्चतम बिन्दु पर बाल्टी की न्यूनतम चाल क्या हो जिससे पानी । बाहर न गिरे ? (g= 10 मीटर/सेकण्ड)
हल-दिया है-r= 1.6 मीटर, g= 10 मीटर/सेकण्ड²
उच्चतम बिन्दु पर बाल्टी की न्यूनतम चाल
V_min = \(\sqrt{r g}\)
या V_min = \(\sqrt{1 \cdot 6 \times 10}\) = 4 मीटर/सेकण्ड।

प्रश्न 34.

पत्थर के टुकड़े को एक भारहीन डोरी से बाँधकर 5 मीटर त्रिज्या के ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाया जाता है।
(i) वृत्त के उच्चतम बिन्दु पर पत्थर की न्यूनतम चाल क्या होगी जिससे रस्सी ढीली न पड़े।
(ii) इस अवस्था में वृत्त के निम्नतम बिन्दु पर उसकी चाल क्या होगी? (g= 9.8 मीटर/सेकण्ड²
हल-r= 5 मीटर, g= 9.8 मीटर/सेकण्ड²
(i) वृत्त के उच्चतम बिन्दु पर पत्थर की न्यूनतम चाल
v_min = \(\sqrt{g r}\)
∴ v_min =\(\sqrt{5 \times 9 \cdot 8}\) = 7 मीटर/सेकण्ड।

(ii) निम्नतम बिन्दु पर पत्थर की चाल
v_B = \(\sqrt{5 g r}\)
v_B = \(\sqrt{5 \times v_{\min }}\) = \(\sqrt{5 \times 7}\) = 7\(\sqrt{5}\) मीटर/सेकण्ड।

प्रश्न 35.
एक दीवार घड़ी की घण्टे तथा मिनट की सुइयों की लंबाइयाँ क्रमशः 8 सेमी तथा 6 सेमी हैं। दोनों सुइयों के सिरों के रेखीय वेगों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल-दिया है- r₁ = 8 सेमी = 0.08 मीटर, r₂ = 6 सेमी = 0.06 मीटर
घण्टे की सुई के सिरे का वेग v₁ = r₁ω₁
v=r₁ x 2πu₁
मिनट की सुई के सिरे का वेग v₁ = r₂ω₂

प्रश्न 36.
एक डोरी 500 ग्राम भार का तनावसहन कर सकती है। 100 ग्राम की वस्तु को 1 मीटर लंबी रस्सी के एक सिरे से बाँधकर क्षैतिज वृत्त में घुमाया जाता है। किस वेग से घुमाने पर रस्सी टूट जायेगी? हल-दिया है-तनाव T = 500 ग्राम भार = \(\frac{500}{1000}\) ग्राम
या T = \(\frac{500 \times 9 \cdot 8}{100}\) = 4.9 न्यूटन
r= 1 मीटर, m = 100 ग्राम = 0.1 किग्रा
∴तनाव T = \(\frac{m v^{2}}{r}\)

या v² = \(\frac{\mathrm{T} . r}{\mathrm{~m}}\) = \(\frac{4 \cdot 9 \times 1}{0 \cdot 1}\) = 49
या v = 7 मीटर/सेकण्ड।
अतः रस्सी को v = 7 मीटर/सेकण्ड से अधिक वेग से घुमाने पर रस्सी टूट जायेगी।

प्रश्न 37.
एक वायुयान वृत्ताकार पथ पर क्षैतिज से 30° का कोण बनाते हुए 5 × 10⁵ किमी/घण्टा लि से चलता है। वृत्तीय पथ की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल-दिया है- v=5 × 10⁵ किमी/घण्टा = \(\frac{5 \times 10^{5} \times 10^{3}}{60 \times 60}\) = \(\frac{10^{7}}{72}\) मीटर/सेकण्ड
θ = 30°क्षैतिज से
अतः ऊर्ध्वाधर दिशा से झुकाव θ = 60°

प्रश्न 38.
पानी से भरी बाल्टी को 1.6 मीटर लंबी रस्सी के एक सिरे से बाँधकर ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाया जाता है। वृत्त के उच्चतम बिन्दु पर बाल्टी की न्यूनतम चाल क्या हो जिससे पानी बाहर न गिरे ? (g= 10 मीटर/सेकण्ड²)
हल-दिया है-= 1.6 मीटर, g – 10 मीटर/सेकण्ड²
उच्चतम बिन्दु पर बाल्टी की न्यूनतम चाल
v_min = \(\sqrt{r g}\)
या v_min = \(\sqrt{1 \cdot 6 \times 10}\) = 4 मीटर/सेकण्ड।

प्रश्न 39.
4.9 मीटर/सेकण्ड की चाल से एक साइकिल सवार 9.8 मीटर त्रिज्या वाले वृत्तीय मार्ग पर मोड़ लेता है। बताओ कि फिसलने से बचाने के लिए उसे साइकिल को ऊर्ध्वाधर से कितने कोण पर झुकना होगा ? (g = 9.8 मीटर/सेकण्ड²)
हल-दिया है- v = 4.9 मीटर/सेकण्ड, r = 9.8 मीटर, g = 9.8 मीटर/सेकण्ड²
∴ सूत्र tan θ = \(\frac{v^{2}}{r g}\) से,

tan θ = \(\frac{(4 \cdot 9)^{2}}{9 \cdot 8 \times 9 \cdot 8}\) = \(\frac{1}{4}\)
या θ = tan^{-1\(\left(\frac{1}{4}\right)\) = 140}

प्रश्न 40.
एक कार समतल सड़क पर 36 किमी/घण्टा की चाल से जा रही है। सड़क तथा कार के टायरों के मध्य घर्षण गुणांक 0.8 है। कार इसी चाल से 10 मीटर त्रिज्या के मोड़ पर मुड़ती है। यदि g = 10 मीटर/सेकण्ड² हो तो क्या कार मोड़ पर मुड़ते समय फिसल जायेगी?
हल-दिया है- v=36 किमी/घण्टा =\(\frac{36 \times 1000}{60 \times 60}\) = 10 मीटर/सेकण्ड, r =10 मीटर, g=10 मीटर/सेकण्ड² एवं µ = 0.8

बिना फिसले मोड़ पर मुड़ने के लिए अधिकतम सुरक्षित चाल
v=\(\sqrt{\mu r g}\)
∴ v = \(\sqrt{0 \cdot 8 \times 10 \times 10}\) = 8.94 मीटर/सेकण्ड
चूँकि कार की चाल (= 10 मीटर/सेकण्ड) अधिकतम सुरक्षित चाल से अधिक है। अतः कार मोड़ पर मुड़ते समय फिसल जायेगी।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
न्यूटन के गति के प्रथम नियम को कौन-सा नियम कहते हैं
(a) संवेग
(b) जड़त्व का नियम
(c) क्रिया-प्रतिक्रिया नियम
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) जड़त्व का नियम

प्रश्न 2.
किसी वस्तु के जड़त्व की माप उसके
(a) द्रव्यमान से की जाती है
(b) वेग से की जाती है
(c) (a) और (b) दोनों से
(d) (a) और (b) दोनों से नहीं कर सकते हैं।
उत्तर:
(a) द्रव्यमान से की जाती है

प्रश्न 3.
यदि किसी वस्तु पर नेट बल शून्य हो तो उसका त्वरण
(a) बढ़ जायेगा
(b) घट जायेगा
(c) शून्य होगा
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(c) शून्य होगा

प्रश्न 4.
1 न्यूटन का मान होता है
(a) किग्रा × मीटर × समय
(b) किग्रा × मीटर / सेकण्डर²
(c) मीटर × सेकण्ड
(d) किग्रा × सेकण्ड।
उत्तर:
(b) किग्रा × मीटर / सेकण्डर²

प्रश्न 5.
एक पिण्ड पर नियत बल लगाने पर एकसमान क्या होगा
(a) वेग
(b) त्वरण
(c) संवेग
(d) गतिज ऊर्जा ।
उत्तर:
(b) त्वरण

प्रश्न 6.
रॉकेट नोदन की कार्य विधि आधारित है
(a) गति के प्रथम नियम पर
(b) संवेग संरक्षण पर
(c) गति के द्वितीय नियम पर
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) संवेग संरक्षण पर

प्रश्न 7.
सीमांत घर्षण निर्भर करता है-
(a) तल के क्षेत्रफल पर
(b) तल की आकृति पर
(c) तल की प्रकृति पर
(d) अभिलम्ब प्रतिक्रिया पर।
उत्तर:
(a) तल के क्षेत्रफल पर

प्रश्न 8.
लिफ्ट में किसी व्यक्ति का भार अधिक होगा जब लिफ्ट
(a) ऊपर जाती है
(b) नीचे आती है
(c) स्वतंत्र रूप से गिरती है
(d) एकसमान वेग से ऊपर जाती है।
उत्तर:
(a) ऊपर जाती है

प्रश्न 9.
कौन-से नियम से न्यूटन के अन्य दो नियम निकाले जाते हैं
(a) न्यूटन के प्रथम नियम से
(b) न्यूटन के द्वितीय नियम से
(c) न्यूटन के तृतीय नियम से
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) न्यूटन के द्वितीय नियम से

प्रश्न 10.
यदि लिफ्ट स्वतंत्रतापूर्वक गिर रही है तो इसमें स्थित 100 किग्रा की वस्तु का भार होगा
(a) 880 न्यूटन
(b) 980 न्यूटन
(c) 980 किग्रा
(d) शून्य।
उत्तर:
(d) शून्य।

प्रश्न 11.
स्थैतिक घर्षण गुणांक का सूत्र है
(a) F_s × R
(b) R/F_s
(c) μ_s = F_s R
(d) μ_s = F_s.
उत्तर:
(c) μ_s = F_s R

प्रश्न 12.
घर्षण कोण तथा विराम कोण में निम्न संबंध है
(a) tan θ + tan λ
(b) tan θ = tan λ
(c) tanθ × tan λ
(d) tanθ ÷ tan λ.
उत्तर:
(b) tan θ = tan λ

प्रश्न 13.
5 किग्रा से एक ट्राली पर बल लगाने से उसमें 10 मी./से. का त्वरण उत्पन्न हो जाता है, तो आरोपित बल का मान होगा
(a) 100 न्यूटन
(b) 50 न्यूटन
(c) 25 न्यूटन
(d) 20 न्यूटन।
उत्तर:
(b) 50 न्यूटन

प्रश्न 14.
1 किलोग्राम की वस्तु स्वतंत्रतापूर्वक जमीन की सतह पर गिरती है, जो जमीन की सतह पर __ आरोपित बल का मान होगा
(a) 1 किलोग्राम
(b) 1 किलोग्राम-भार
(c) 2 किलोग्राम
(d) 2 किलोग्राम-भार।
उत्तर:
(d) 2 किलोग्राम-भार।

प्रश्न 15.
5 किग्रा द्रव्यमान की वस्तु पर 10 न्यूटन का बल 5 सेकण्ड तक लगाने पर बल का आवेग होगा
( a) 25 न्यूटन × सेकण्ड
(b) 20 न्यूटन × सेकण्ड
(c) 15 न्यूटन × सेकण्ड
(d) 50 न्यूटन × सेकण्ड।
उत्तर:
(d) 50 न्यूटन × सेकण्ड।

2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

1. एक न्यूटन = ………………. डाइन।
उत्तर:
10

2. बल = द्रव्यमान × ……..
उत्तर:
त्वरण

3. न्यूटन के गति के प्रथम नियम को ………………. का नियम कहते हैं।
उत्तर:
जड़त्व

4. संवेग परिवर्तन की दर लगाये गये ……………. के अनुक्रमानुपाती होती है।
उत्तर:
बल

5. किसी भी क्रिया के बराबर और विपरीत …………….. होती है।
उत्तर:
प्रतिक्रिया

6. बल का SI में मात्रक ………………. होता है।
उत्तर:
न्यूटन

7. बल का CGS पद्धति में मात्रक ……………… होता है।
उत्तर:
डाइन

8. रॉकेट नादेन ………………. के सिद्धांत पर कार्य करता है।
उत्तर:
संवेग संरक्षण

9. 1 किग्रा भार = ………………. न्यूटन होता है।
उत्तर:
9.8

10. बंदूक की गोली लगने से काँच में सुराख हो जाता है, परन्तु पत्थर लगने से काँच टूट जाता है, ……………….. के जड़त्व का उदाहरण है।
उत्तर:
विराम

11. दौड़ते हुए घोड़े के अचानक रुक जाने से घुड़सवार आगे की ओर झुकता है। यह ……………… के – जड़त्व का उदाहरण है।
उत्तर:
गति

12. न्यूटन के गति के नियम जिस फ्रेम में पूरी तरह लागू होते हैं, उसे पूरा तरह लागू होते हैं, उसे ……………… प्रेम कहते हैं।
उत्तर:
जड़त्वीय

13. …………….. फ्रेम में न्यूटन के गति के नियम लागू नहीं होते हैं।
उत्तर:
अजड़त्वीय

14. घर्षण के लिए …………….. घर्षण का मान अधिक होता है।
उत्तर:
सी

15. नत समतल के लिए घर्षण कोण तथा ……………… आपस में बराबर होता है।
उत्तर:
विराम कोण

16. गतिज घर्षण संपर्क तलों के ………………. पर निर्भर नहीं करती।
उत्तर:
क्षेत्रफल

17. जब कोई व्यक्ति बस में बैठकर मोड़ पर मुड़ता है तो उस पर बाहर की ओर लगने वाला बल ……………. कहलाता है।।
उत्तर:
अपकेन्द्र बल।

3. सही जोड़ियाँ बनाइए-
(I)

खण्ड ‘अ’	खण्ड ‘ब’
1. संवेग में परिवर्तन	(a) संगामी बल
2. क्रिया के बराबर किन्तु विपरीत	(b) आवेग प्रतिक्रिया होती है
3. घर्षण बल	(c) बाल बियरिंग
4. वे बल जिनकी क्रिया रेखा एक ही	(d) गति विरोधी बल बिन्दु से होकर जाती है
5. घर्षण कम करता है	(e) गति का तृतीय नियम।

उत्तर-
1. (b) आवेग प्रतिक्रिया होती है
2. (e) गति का तृतीय नियम।
3. (d) गति विरोधी बल बिन्दु से होकर जाती है
4. (a) संगामी बल
5. (c) बाल बियरिंग.

(II)

खण्ड ‘अ’	खण्ड ‘ब’
1. चलती बस के अचानक रुकने से	(a) आवेग कम करने के लिए सवार आगे की ओर झुकता है
2. मोटे कपड़े को डण्डे से पिटने पर	(b) क्रिया-प्रतिक्रिया धूल का झड़ना
3. रॉकेट नोदन	(c) गति का जड़त्व
4. क्रिकेट की गेंद को लपकते समय	(d) संवेग संरक्षण खिलाड़ी अपने हाथ पीछे खींचता है
5. जमीन पर चलना	(e) विराम का जड़त्व।

उत्तर-
1. (c) गति का जड़त्व
2. (e) विराम का जड़त्व।
3. (d) संवेग संरक्षण खिलाड़ी अपने हाथ पीछे खींचता है
4. (a) आवेग कम करने के लिए सवार आगे की ओर झुकता है
5. (b) क्रिया-प्रतिक्रिया धूल का झड़ना.

4. सत्य / असत्य बताइए

1. न्यूटन के गति का प्रथम नियम जड़त्व का नियम है।
उत्तर:
सत्य

2. संवेग के परिवर्तन लगाये गये बल के समानुपाती नहीं होता है।
उत्तर:
असत्य

3. किसी भी वस्तु के बराबर एवं विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
उत्तर:
सत्य

4. छद्म-बल छुपा हुआ बल नहीं होता है।
उत्तर:
सत्य

5. एक गतिमान गोली लकड़ी के गुटके में फँस जाती है, तो उसका वेग संरक्षित होगा।
उत्तर:
असत्य

6. लिफ्ट ऊपर की ओर गतिशील हो तो इसमें खड़े व्यक्ति का भार कम होता हुआ प्रतीत होता है।
उत्तर:
असत्य

7. यदि पिण्ड विरामावस्था में न हो तो उस पर लगने वाला नेट बल शून्य नहीं होगा।
उत्तर:
असत्य

8. वृत्तीय पथ पर घूमती हुई बस अजड़त्वीय निर्देश तंत्र का उदाहरण है।
उत्तर:
सत्य

9. कोई पिण्ड विरामावस्था में रह सकता है यदि उस पर बाह्य बल लग रहा है।
उत्तर:
सत्य

10. रेत पर चलने में कठिनाई होती है।
उत्तर:
सत्य

11. स्वतंत्रतापूर्वक गिरती हुई वस्तु का भार शून्य नहीं होता है।
उत्तर:
असत्य

12. चलती हुई गाड़ी में ब्रेक लगाने पर उसका संवेग शून्य होगा जब गाड़ी रुकेगी।
उत्तर:
सत्य

13. एक पिण्ड नियत वेग से गतिशील हो इसके लिए बल की आवश्यकता होती है।
उत्तर:
असत्य

14. बहुत चिकने फर्श पर चलना आसान होता है।
उत्तर:
असत्य

15. यदि एक कार्क जल पर तैर रहा हो तो नेट बल शून्य है।
उत्तर:
सत्य

16. पृथ्वी चंद्रमा पर गुरुत्वाकर्षण बल आरोपित करती है।
उत्तर:

17. ऊपर फेंकी गई वस्तु का संवेग संरक्षित होता है।
उत्तर:
असत्य।