MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.5

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.5

1 से 10 तक के प्रत्येक प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इनमें से प्रत्येक को हल कीजिए-
प्रश्न 1.
(x² + xy) dy = (x² + y²)dx
हल:

प्रश्न 2.
y’ = \(\frac{x+y}{x}\)
हल:
\(\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x}\)
∵ अंश व हर की घात समान है इसलिए दिया हुआ अवकल समी० समघातीय अवकल समी० हैं।
∴ y = vx रखने पर

प्रश्न 3.
(x – y)dy -(x + y)dx = 0
हल:
(x – y) dy – (x + y) dx =0
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x-y}\)
∵ अंश व हर की घात समान हैं अतः यह एक समघातीय अवकल समीकरण हैं।
∴ y = vx रखने पर

प्रश्न 4.
(x² – y) dx + 2xy dy = 0
हल:
(x² – y²) dx + 2xy dy = 0

प्रश्न 5.
x²\(\frac{d y}{d x}\) = x² – 2y² + xy
हल:

प्रश्न 6.
x dy – y dx = \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) dx
हल:

प्रश्न 7.

हल:
दिया गया अवकल समीकरण

प्रश्न 8.
x\(\frac{d y}{d x}\) – y + x sin\(\left(\frac{y}{x}\right)\) = 0
हल:

प्रश्न 9.
y dx + x log\(\left(\frac{y}{x}\right)\)dy – 2x dy = 0
हल:
दिया गया अवकल समी०
y dx + x log\(\left(\frac{y}{x}\right)\)dy – 2x dy = 0 …(i)

प्रश्न 10.
(1 + e^x/y) dx + e^x/y (1 – \(\frac{x}{y}\)) dy = 0
हल:
दिया गया अवकल समी०

11 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 11.
(x + y) dy + (x – y) dx = 0; y = 1 यदि x = 1
हल:
दिया है (x + y) dy + (x – y) dx = 0
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{y+x}\) …(i)
∵ अंश व हर की घात समान हैं इसलिए यह एक समघातीय अवकल समी० है।
∴ y = vx रखने पर

प्रश्न 12.
x²dy + (xy + y²) dx = 0; y = 1 यदि x = 1
हल:
दिया गया अवकल समी०
x²dy + (xy + y²) dx = 0

प्रश्न 13.
[x sin² \(\left(\frac{y}{x}\right)\) – y] dx + x dy = 0: y = \(\frac{\pi}{4}\) यदि x = 1
हल:
दिया गया अवकल समी०

प्रश्न 14.
\(\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}\) + cosec \(\left(\frac{\boldsymbol{y}}{\boldsymbol{x}}\right)\) = 0; y = 0 यदि x = 1
हल:
दिया गया अवकल समी०

प्रश्न 15.
2xy + y² – 2x²\(\frac{d y}{d x}\) = 0; y = 2 यदि x = 1
हल:
दिया गया समी०

प्रश्न 16.
\(\frac{d x}{d y}=h\left(\frac{x}{y}\right)\) के रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा प्रतिस्थापन किया जाता है-
(A) y = vx
(B) v = yx
(C) x = vy
(D) x = y
हल:
जब \(\frac{d x}{d y}=h\left(\frac{x}{y}\right)\) हो तो x = yy प्रतिस्थापित करते हैं।
अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 17.
निम्नलिखित में से कौन-सा समघातीय अवकल समीकरण है
(A) (4x + 6y + 5)dy – (3y + 2x + 4)dx = 0
(B) (xy) dx – (x³ + y³)dy = 0
(C) (x³ + 2y²)dx + 2xy dy = 0
(D) y²dx + (x² – xy – y²)dy = 0
हल:
y²dx + (x² – xy – y²) dy = 0 पर विचार करते हैं।

इस प्रकार अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः विकल्प (D) सही है।