In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित विविध प्रश्नावली Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित विविध प्रश्नावली
प्रश्न 1.
XY-तल में, x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में 30° का कोण बनाने वाला मात्रक सदिश लिखिए।
हल:
प्रश्न 2.
बिन्दु P (x1, y1, z1) और Q (x2, y3, z3) को मिलाने वाले सदिश के अदिश घटक और परिमाण ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 3.
एक लड़की पश्चिम दिशा में 4 km चलती है। उसके पश्चात् वह उत्तर से 30° पश्चिम की दिशा में 3 km चलती है और रुक जाती है। प्रस्थान के प्रारम्भिक बिन्दु से लड़की का विस्थापन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना O बिन्दु से Ox की ओर OP (4 km) चलती है। इसे \(-4 \hat{i}\) सदिश निरूपित करते हैं। अतः \(\overrightarrow{O P}=-4 \hat{i}\) अब वह उत्तर से 30° पश्चिम की ओर 3 km चलती है, वह Q बिन्दु जा पहुँचती है।
PQ ऊर्ध्वाधर से 30° का कोण बनाती है और OX’ के साथ 60° का कोण बनाती है।
PQ का OX’ पर प्रक्षेप PM है।
प्रश्न 4.
यदि \(\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}\), तब क्या यह सत्य है कि \(|\vec{a}|=|\vec{b}|+|\vec{c}|\)? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
दिया है : \(\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}\)
\(|\vec{a}|=|\vec{b}+\vec{c}|\)
प्रश्न 5.
x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए \(x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) एक मात्रक सदिश है।
हल:
\(x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) एक मात्रक सदिश है।
प्रश्न 6.
सदिशों \(\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}\) और \(\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}\) के परिणामी के समान्तर एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिणाम 5 इकाई है।
हल:
माना \(\vec{P}\) सदिश \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) का परिणामी सदिश हैं।
प्रश्न 7.
यदि \(\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}\) और \(\vec{c}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}\), तो सदिश \(2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}\) के समान्तर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 8.
दर्शाइए कि बिन्दु A (1, -2, -8), B (5, 0, -2) और C (11, 3, 7)संरेख हैं और B द्वारा AC को विभाजित करने वाला अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु A, B, C के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं-
A(1, -2, -8), B (5, 0, -2), C (11, 3, 7)
प्रश्न 9.
दो बिन्दुओं \(P(2 \vec{a}+\vec{b})\) और \(Q(\vec{a}-3 \vec{b})\) को मिलाने वाली रेखा को 1 : 2 के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए। यह भी दर्शाइए कि बिन्दु P रेखाखण्ड RQ का मध्य बिन्दु है।
हल:
बिन्दु P, Q के स्थिति सदिश क्रमश: \(2 \vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{a}-3 \vec{b}\) हैं।
बिन्दु R, PQ को बाह्य 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।
जो P का स्थिति सदिश है।
अतः P, RQ का मध्य बिन्दु है।
प्रश्न 10.
एक समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ \(2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}\) और \(\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}\) हैं। इसके विकर्ण के समान्तर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज इस प्रकार है कि
प्रश्न 11.
दर्शाइए कि OX, OY एवं OZ अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक-कोसाइन कोज्याएँ \(\pm\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) हैं|
हल:
∵ सदिश अक्ष OX, OY तथा OZ के साथ बराबर झुके हैं
∴ α = β = γ
⇒ cos α = cos β = cos γ
परन्तु cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
⇒ cos2 α + cos2 α + cos2 α = 1
3 cos2α = 1
cos2 α = \(\frac{1}{3}\)
cos α = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ cos α = cos β = cos γ = 1
अतः दिक्-कोज्याएँ \(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\) हैं।
प्रश्न 12.
मान लीजिए \(\vec{a}=\hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}\), \(\vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+7 \hat{k}\) और \(\vec{c}=2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}\) एक ऐसा सदिश \(\vec{d}\) ज्ञात कीजिए जो \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के दोनों पर लम्ब है और \(\vec{c} \cdot \vec{d}\) = 15
हल:
माना \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) है पर कोई लम्ब सदिश \(\vec{a} \times \vec{b}\) है।
प्रश्न 13.
सदिश \(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) का, सदिशों \(2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}\) और \(\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\) के योगफल की दिशा में मात्रक सदिश के साथ अदिश गुणनफल 1 के बराबर है, तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 14.
यदि \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) समान परिमाणों वाले परस्पर लम्बवत् सदिश हैं तो दर्शाइए कि सदिश \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) सदिशों \(\vec{a}, \vec{b}\) तथा \(\vec{c}\) के साथ बराबर झुका हुआ है।
हल:
दिया है \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) सदिश परस्पर लम्बवत् हैं अतः
प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि \((\vec{a}+\vec{b})\)\((\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}\) यदि और केवल यदि \(\vec{a}, \vec{b}\) लम्बवत् हैं। यह दिया हुआ है कि \(\vec{a} \neq \overrightarrow{0}, \vec{b} \neq \overrightarrow{0}\) है
हल:
16 से 19 तक के प्रश्नों में सही उत्तर का चयन कीजिए।
प्रश्न 16.
यदि दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण है तो \(\overrightarrow{\boldsymbol{a}} \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{b}} \geq \boldsymbol{0}\) होगा यदि-
(A) 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\)
(B) 0 ≤ θ ≤ \(\frac{\pi}{2}\)
(C) 0 < θ < π
(D) 0 ≤ θ ≤ π
हल:
अतः विकल्प (B) सही है।
प्रश्न 17.
मान लीजिए \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दो मात्रक सदिश हैं और उनके बीच का कोण θ है तो \(\vec{a}+\vec{b}\) के एक मात्रक सदिश है, यदि-
हल:
अतः विकल्प (D) सही है।
प्रश्न 18.
\(\hat{\boldsymbol{i}}(\hat{\boldsymbol{j}} \times \hat{\boldsymbol{k}})+\hat{\boldsymbol{j}} \cdot(\hat{\boldsymbol{i}} \times \hat{\boldsymbol{k}})+\hat{\boldsymbol{k}} \cdot(\hat{\boldsymbol{i}} \times \hat{\boldsymbol{j}})\) का मान है-
(A) 0
(B) -1
(C) 1
(D) 3
हल:
\(\{\hat{i} \hat{j} \hat{k}\}\) परस्पर लम्बवत् मात्रक सदिश हैं।
अतः विकल्प (C) सही है।
प्रश्न 19.
यदि दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण 0 है तो \(|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}|\) जब θ बराबर है
(A) 0
(B) \(\frac{\pi}{4}\)
(C) \(\frac{\pi}{2}\)
(D) π
हल:
अतः विकल्प (B) सही है।