MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.4

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं का वर्गमूल, भाग विधि से ज्ञात कीजिए –

(i) 2304
(ii) 4489
(iii) 3481
(iv) 529
(v) 3249
(vi) 1369
(vii) 5776
(viii) 7921
(xi) 576
(x) 1024
(xi)3136
(xii) 900.

हल:

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक के वर्गमूल के अंकों की संख्या ज्ञात कीजिए (बिना गणना के) –

1. 64
2. 144
3. 4489
4. 27225
5. 390625

हल:
1. संख्या 64 में 2 अंक हैं।
∴ \(\sqrt { 64 } \) में अंकों की संख्या = \(\frac{n}{2}\) = \(\frac{n}{2}\) = 1 होगी।

2. संख्या 144 में 3 अंक है।
∴ \(\sqrt { 144 } \) में अंकों की संख्या = \(\frac{3+1}{2}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2 होगी।

3. संख्या 4489 में अंकों की संख्या = 4 है।
∴ \(\sqrt { 4489 } \) में अंकों की संख्या = \(\frac{4}{2}\) = 2 होगी।

4. संख्या 27225 में अंकों की संख्या = 5 है।
∴ \(\sqrt { 27225 } \) में अंकों की संख्या = \(\frac{5+1}{2}\) = \(\frac{6}{2}\) = 3 होगी।

5. संख्या 390625 में अंकों की संख्या = 6 है।
∴ \(\sqrt { 390625 } \) में अंकों की संख्या = \(\frac{6}{2}\) = 3 होगी।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित दशमलव संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात कीजिए –

(i) 2.56
(ii) 7.29
(iii) 51.84
(iv) 42.25
(v) 31.36

हल:

प्रश्न 4.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में न्यूनतम संख्या क्या घटाई जाए कि एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए। इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए –

1. 402
2. 1989
3. 3250
4. 825
5. 4000.

हल:
1.

स्पष्ट है कि 202, 402 से 2 कम है। अतः पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करने के लिए दी हुई संख्या में से 2 घटाना चाहिए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 402 – 2 = 400
पुनः \(\sqrt { 400 } \) = 20

2.

संख्या का वर्गमूल निकालने पर 53 शेष बचता है।
अतः संख्या में से 53 घटाने पर प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग होगी।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 1989 – 53
= 1936
पुनः \(\sqrt { 1936 } \) = 44

3.

संख्या का वर्गमूल निकालने पर 1 शेष बचता है।
अतः संख्या में से 1 घटाने पर प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग होगी।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 3250 – 1 = 3249
पुनः \(\sqrt { 3249 } \) = 57

4.

संख्या का वर्गमूल निकालने पर 41 शेष बचता है।
अत: संख्या में से 41 घटाने पर प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग होगी।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 825 – 41 = 784
पुनः \(\sqrt { 784 } \) = 28

5.

संख्या का वर्गमूल निकालने पर 31 शेष बचता है।
अतः संख्या में से 31 घटाने पर प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग होगी।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 4000 – 31 = 3969
पुनः \(\sqrt { 3969 } \) = 63

प्रश्न 5.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में कम से कम कितना जोड़ा जाए कि एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए ? इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए –

1. 525
2. 1750
3. 252
4. 1825
5. 6412

हल:
1.

स्पष्ट है कि 22² < 525 < 23²
अतः अभीष्ट संख्या = 23² – 525
= 529 – 525
= 4 जोड़ी जाए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 525 + 4 = 529
स्पष्टतः \(\sqrt { 529 } \) = 23

2.

स्पष्ट है कि 41² < 1750 < 42²
अतः अभीष्ट संख्या = 422 – 1750
= 1764 – 1750
= 14 जोड़ी जाए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 1750 + 14 = 1764
स्पष्टतः \(\sqrt { 1764 } \) = 42

3.

स्पष्ट है कि 15² < 252 < 16²
अतः अभीष्ट संख्या = 162 – 252
= 256 – 252 = 4 जोड़ी जाए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 252 + 4 = 256
स्पष्टतः \(\sqrt { 1764 } \) = 16

4.

स्पष्ट है कि 42² < 1825 < 43²
अतः अभीष्ट संख्या = 432 – 1825
= 1849 – 1825
= 24 जोड़ी जाए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 1825 + 24 = 1849
स्पष्टतः \(\sqrt { 1849 } \) = 43

5.

स्पष्ट है कि 802 <6412 <812 अतः अभीष्ट संख्या = 812 – 6412
= 6561 – 6412
=149 जोड़ी जाए।
∴ अभीष्ट पूर्ण वर्ग संख्या = 6412 + 149 = 6561
स्पष्टतः \(\sqrt { 1849 } \) = 81

प्रश्न 6.
किसी वर्ग की भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल 441 मी है।
हल:
वर्ग का क्षेत्रफल = (वर्ग की भुजा)²
441 = (वर्ग की भुजा)²
∴ वर्ग की भुजा = \(\sqrt { 441 } \) मीटर
= 21 मीटर

प्रश्न 7.
किसी समकोण त्रिभुज ABC में, ∠B = 90°

(a) यदि AB = 6 सेमी, BC = 8 सेमी है, तो AC ज्ञात कीजिए।
(b) यदि AC = 13 सेमी, BC = 5 सेमी, तो AB ज्ञात कीजिए।

हल:
(a) समकोण ΔABC में, पाइथागोरस प्रमेय से

AC² = AB² + BC²
AC² = 6² + 8²
= 36 + 64 = 100
∴ AC = \(\sqrt { 100 } \) = 10 सेमी

(b) समकोण ΔABC में, पाइथागोरस प्रमेय से

AC² = AB² + BC²
13² = AB² + 5²
169 = AB² + 25
AB² = 169 – 25 = 144
AB = \(\sqrt { 144 } \) = 12 सेमी.

प्रश्न 8.
एक माली के पास 1000 पौधे हैं। इन पौधों को वह इस प्रकार लगाना चाहता है कि पंक्तियों की संख्या और कॉलम की संख्या समान रहे। इसके लिए कम से कम पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसकी उसे आवश्यकता हो।
हल:
1000 का वर्गमूल लेने पर,

यह दर्शाता है कि 312, 1000 से 39 कम हैं और 32² = 1024
अतः माली को अभीष्ट पौधों की आवश्यकता होगी = 1024 – 1000 – 24 पौधे

प्रश्न 9.
एक विद्यालय में 500 विद्यार्थी हैं। पी. टी. के अभ्यास के लिए इन्हें इस तरह से खड़ा किया गया कि पंक्तियों की संख्या कॉलम की संख्या के समान रहे। इस व्यवस्था को बनाने में कितने विद्यार्थियों को बाहर जाना होगा?
हल:
500 का वर्गमूल लेने पर,

यह दर्शाता है कि 222 = 484 जो कि 500 से 16 कम है
अतः इस व्यवस्था को बनाने में 16 विद्यार्थियों को बाहर जाना होगा।

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