MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित

सदिश बीजगणित Important Questions

सदिश बीजगणित वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
सदिशों 2\(\bar { i } \) + 4\(\bar { j } \) – 5\(\bar { k } \) तथा \(\bar { i } \) + 2\(\bar { j } \) + 3\(\bar { k } \) के परिणामी सदिश के समान्तर एकांक सदिश है –

उत्तर:

प्रश्न 2.
यदि \(\bar { OA } \) = a, \(\bar { OB } \) = -b तथा C, AB पर एक ऐसा बिन्दु है कि \(\bar { AC } \) = 3AB, तो सदिश \(\bar { OC } \) बराबर है –
(a) 3\(\bar { a } \) – 2\(\bar { b } \)
(b) 3\(\bar { b } \) – 2\(\bar { a } \)
(c) 3\(\bar { a } \) – \(\bar { b } \)
(d) 3\(\bar { b } \) – \(\bar { a } \).
उत्तर:
(b) 3\(\bar { b } \) – 2\(\bar { a } \)

प्रश्न 3.
दो सदिश \(\bar { a } \) और \(\bar { b } \) इस प्रकार है कि |\(\bar { a } \)| = 2, |b| = 1 तथा \(\bar { a } \).\(\bar { b } \) = \(\sqrt{3}\) हो तो उनके बीच का कोण होगा –
(a) \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(b) \(\frac { \pi }{ 4 } \)
(c) \(\frac { \pi }{ 6 } \)
(d) \(\frac { \pi }{ 7 } \)
उत्तर:
(c) \(\frac { \pi }{ 6 } \)

प्रश्न 4.
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी संलग्न भुजाएँ \(\bar { i } \) – 2\(\bar { j } \) + 3\(\bar { k } \) तथा 2\(\bar { i } \) + \(\bar { j } \) – 4\(\bar { k } \) है, हैं –
(a) 3\(\sqrt{6}\)
(b) 4\(\sqrt{6}\)
(c) 5\(\sqrt{6}\)
(d) 6\(\sqrt{6}\)
उत्तर:
(c) 5\(\sqrt{6}\)

प्रश्न 5.
यदि \(\bar { a } \) = \(\bar { b } \) + \(\bar { c } \) तो \(\bar { a } \).( \(\bar { b } \) × \(\bar { c } \) ) बराबर है –
(a) 2\(\bar { a } \).( \(\bar { b } \) + \(\bar { c } \) )
(b) 0
(c) \(\bar { b } \).( \(\bar { a } \) + \(\bar { c } \) )
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

1. दो सदिशों का योग या अन्तर सदैव एक ……………………… होता है।
2. सदिशों का योग ……………………….. का पालन करता है।
3. ( \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) ) + \(\vec { c } \) = \(\vec { a } \) + …………………………..
4. दो सदिशों का योग ………………………. से प्राप्त किया जा सकता है।
5. बिन्दु (1, 2, 3) का मूलबिन्दु के सापेक्ष स्थिति सदिश ……………………………. होगा।
6. यदि \(\vec { A } \)C = 3 \(\vec { A } \)B हो, तो बिन्दु A, B, C …………….. होंगे।
7. यदि \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \)समान्तर हों, तो \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) = ……………………. होगा।
8. सदिश \(\vec { a } \) की दिशा में एकांक सदिश ……………………………. होगा।
9. सदिश \(\vec { b } \) का \(\vec { a } \) की दिशा में प्रक्षेप …………………………. होगा।
10. यदि सदिश 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) तथा 3\(\hat { i } \) + p\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) समतलीय हों, तो p का मान …………………………….. होगा।
11. एक बल 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), एक बिन्दु A जिसका स्थिति सदिश 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) है, पर कार्य करता है। बल का मूलबिन्दु के सापेक्ष आघूर्ण ……………………………… होगा।
12. एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल …………………. होगा, जिसके विकर्ण 3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) तथा \(\hat { i } \)
    – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) हैं।

उत्तर:

1. नया सदिश
2. क्रम विनिमेय नियम और साहचर्य नियम
3. ( \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) )
4. सदिश योग के त्रिभुज – नियम
5. \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
6. समरेख
7. \(\vec { O } \)
8. \(\frac { \vec { a } }{ |\vec { a } | } \)
9. 
10. -4
11. \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \)
12. 5\(\sqrt{3}\) वर्ग इकाई।

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. एक त्रिभुज की भुजाओं द्वारा क्रमानुसार निरूपित सदिशों का योग शून्य होता है।
2. यदि \(\vec { a } \) व \(\vec { b } \) दो असंरेख सदिश हैं तो |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)| ≥ |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)
3. एक सदिश जिसके आदि और अंतिम बिंदु संपातो होते हैं एकांक सदिश कहलाता है।
4. यदि बिन्दुओं P और Q के स्थिति सदिश क्रमशः \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \) और 5\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) हों, तो |\(\vec { P } \)Q| का मान 9\(\sqrt{2}\) होगा!
5. यदि |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)| = |\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)|, तो \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) = 0
6. \(\vec { a } \). ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) ) का मान शून्य होता है।
7. सदिश \(\hat { i } \) – λ\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) परस्पर लम्ब हों तो λ का मान 6 होगा।

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. असत्य
4. सत्य
5. असत्य
6. सत्य
7. असत्य।

प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइए –

उत्तर:
(a) (iv)
(b) (v)
(c) (i)
(d) (ii)
(e) (iii)
(f) (vii)
(g) (vi).

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. यदि \(\vec { a } \), \(\vec { b } \), \(\vec { c } \) किसी ∆ABC के शीर्षों के स्थिति सदिश हों, तो ∆ABC के क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए।
2. यदि \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) तथा \(\vec { c } \) = \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तथा [ \(\vec { a } \) \(\vec { b } \) \(\vec { c } \) ] का मान ज्ञात कीजिए।
3. दो सदिशों 3\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) और \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
4. \(\hat { i } \) × ( \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) + \(\hat { j } \) × ( \(\hat { k } \) + \(\hat { i } \) + \(\hat { k } \) × ( \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) ) का मान ज्ञात कीजिए।
5. \(\vec { a } \) का \(\vec { b } \) की दिशा में प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
6. यदि \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्ब सदिश हों तो ( \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) )² का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. \(\frac{1}{2}\) |\(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) + \(\vec { b } \) × \(\vec { c } \) + \(\vec { c } \) × \(\vec { a } \)|
2. 12
3. cos^-1 \(\frac { 25 }{ \sqrt { 783 } } \)
4. 0
5. 
6. |\(\vec { a } \)|² + |\(\vec { b } \)|²

सदिश बीजगणित अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सदिश \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = -2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) और \(\vec { c } \) = \(\hat { i } \) – 6\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \) तो |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \)| का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT, CBSE 2012)
हल:
\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) – 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) + \(\hat { i } \) – 6\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \)
⇒ \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) = -4\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
⇒ |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \)| = \(\sqrt { 0+16+1 } \)
= \(\sqrt{17}\)

प्रश्न 2.
सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = – \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) के योगफल के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = –\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
⇒ \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) = (2 – 1)\(\hat { i } \) + (-1 + 1)\(\hat { j } \) + (2 + 3)\(\hat { k } \)
= \(\hat { i } \) + 0\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \)
माना \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) = \(\vec { r } \)

प्रश्न 3.
सदिश \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए, जिसका परिमाण 7 इकाई है। (NCERT)
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \)
\(\vec { a } \) के अनुदिश मात्रक सदिश
\(\hat { a } \) = \(\frac { \vec { a } }{ |\vec { a } | } \)
|\(\hat { a } \)| = |\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \)|
⇒ |\(\hat { a } \)| = \(\sqrt { (1)^{ 2 }+(-2)^{ 2 } } \) = \(\sqrt{5}\)

\(\hat { a } \) के अनुदिश 7 परिमाण वाला सदिश

प्रश्न 4.
दर्शाइये कि सदिश 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) और -4\(\hat { i } \) + 6\(\hat { j } \) – 8\(\hat { k } \) संरेख हैं।
हल:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \), \(\hat { b } \) = -4\(\hat { i } \) + 6\(\hat { j } \) – 8\(\hat { k } \)
अब \(\vec { b } \) = -2(2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) )
⇒ \(\vec { b } \) = -2\(\vec { a } \)
∵ \(\vec { b } \) = λ\(\vec { a } \) (λ = स्थिरांक)
सदिश \(\vec { a } \), \(\vec { b } \) संरेख हैं।

प्रश्न 5.
सदिश \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) की दिक् कोज्यायें ज्ञात कीजिये। (NCERT)
हल:
माना
\(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
|\(\vec { r } \)| = \(\sqrt { 1+4+9 } \) = \(\sqrt { 14 } \)

= \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \) \(\hat { i } \) + \(\frac { 2 }{ \sqrt { 14 } } \) \(\hat { j } \) + \(\frac { 3 }{ \sqrt { 14 } } \) \(\hat { k } \)
दिक् कोज्यायें = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 2 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 3 }{ \sqrt { 14 } } \)

प्रश्न 6.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तथा \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) है, तो \(\vec { a } \) – \(\vec { b } \) का मान ज्ञात कीजिये।
हल:

प्रश्न 7.
यदि \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) हो, तो |2\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)| का मान ज्ञात कीजिये।
हल:

प्रश्न 8.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) + λ\(\hat { k } \) हो, तो λ का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिये गये सदिश परस्पर लम्ब होंगे यदि उनका अदिश गुणन शून्य है।
अर्थात् \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 0

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिये कि सदिश 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और –\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:
माना
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = –\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ) = 0
L.H.S = – 2 – 3 + 5
= 0 = R.H.S यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 10.
(A) सिद्ध कीजिये कि सदिश 3\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:
प्रश्न क्र. 9 की भाँति हल करें।

(B)
यदि \(\vec { a } \) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = P\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) परस्पर लम्बवत् हों, तो p का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\vec { a } \) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = P\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
\(\vec { a } \) तथा \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् होंगे, यदि \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 0
4p – 2 + 3 = 0
⇒ 4p = -1
⇒ p = – \(\frac{1}{4}\)

प्रश्न 11.
(A) सदिशों (2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) ) और (3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।
हल:
माना \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
यदि इनके बीच का कोण θ हो, तो

∴ θ = 90°.

(B) सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 6\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 11 (A) की भाँति हल कीजिये।

(C) \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तथा \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) का अदिश गुणनफल तथा उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:

यदि इनके बीच का कोण θ हो, तो

∴ θ = cos^-1 \(\sqrt { \frac { 6 }{ 41 } } \)

प्रश्न 12.
यदि |\(\bar { a } \)| = 10, |\(\bar { b } \)| = 2 तथा \(\bar { a } \).\(\bar { b } \) = 12 हो, तो |\(\bar { a } \) × \(\bar { b } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
|\(\bar { a } \)| = 10, |\(\bar { b } \)| = 2 तथा \(\bar { a } \).\(\bar { b } \) = 12
हम जानते हैं कि |\(\bar { a } \) × \(\bar { b } \)|² = |a|² |b|² – ( \(\bar { a } \).\(\bar { b } \) )²
= 100 × 4 – 144 = 400 – 144 = 256
∴ |\(\bar { a } \) × \(\bar { b } \)| = \(\sqrt{256}\) = 16

प्रश्न 13.
यदि \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तथा \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) हो, तो \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)

प्रश्न 14.
विस्थापन \(\vec { d } \) = – \(\hat { i } \) – 3 \(\hat { j } \) + 5 \(\hat { k } \) के अनुदिश कार्य करने वाले बल \(\vec { F } \) = 4\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\vec { d } \) = – \(\hat { i } \) – 3 \(\hat { j } \) + 5 \(\hat { k } \), \(\vec { F } \) = 4\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया है:
\(\vec { d } \) = – \(\hat { i } \) – 3 \(\hat { j } \) + 5 \(\hat { k } \), \(\vec { F } \) = 4\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)
∴ बल द्वारा किया गया करध
W = \(\vec { F } \).\(\vec { d } \)
= (4\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ).(-\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) )
= -4 + 9 + 10 = 15 इकाई।

प्रश्न 15.
यदि |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)| = |\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)| हो, तो सिद्ध कीजिए कि \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:
|\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)| = |\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)|

इस प्रकार, अदिश गुणनफल शून्य है। अतः सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् होंगे। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 16.
दो सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) के इस प्रकार हैं कि |\(\vec { a } \)| = 2, |\(\vec { b } \)| = 3 तथा \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 3, सदिशों \(\vec { a } \) के और \(\vec { b } \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।
हल:
प्रश्न क्र. 17 की भाँति हल कीजिये।

प्रश्न 17.
यदि |\(\vec { a } \)| = 4, |\(\vec { b } \)| = 4 तथा \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 6 हो, तो \(\vec { a } \) सदिशों है और \(\vec { b } \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = |\(\vec { a } \)| |\(\vec { b } \)|
⇒ 6 = 4.4 cos θ
⇒ 6 = 16 cos θ
⇒ cos θ = \(\frac{6}{16}\) = \(\frac{3}{8}\)
∴ θ = cos^-1 \(\frac{3}{8}\)

प्रश्न 18.
दो सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) इस प्रकार हैं कि |\(\vec { a } \)| = 2, |\(\vec { b } \)| = 7 तथा \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।।
हल:
माना \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) के बीच का कोण θ है।

प्रश्न 19.
सदिश 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \)

प्रश्न 20.
उस समान्तर षटफलक का आयतन ज्ञात कीजिये जिसकी कोरेंनिम्न सदिशों से निरूपित हैं –
2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)?
हल:
माना \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) तथा \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
समान्तर षट्फलक का आयतन = [a b c]

= 2(1 – 2) + 3(-1 -4) + 1(1 + 2)
= – 2 – 15 + 3
= -14 घन इकाई।

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिये –
\(\hat { i } \).( \(\hat { j } \) × \(\hat { k } \) ) + ( \(\hat { i } \) × \(\hat { k } \) ).\(\hat { j } \) = 0।
हल:
\(\hat { i } \).( \(\hat { j } \) × \(\hat { k } \) ). \(\hat { j } \) = \(\hat { i } \).\(\hat { i } \) + (-\(\hat { j } \) ).\(\hat { j } \)
= 1 – 1
= 0. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 22.
यदि सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् हैं तो सिद्ध कीजिए कि |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)|² = |\(\vec { a } \)|² + |\(\vec { b } \)|²
हल:
हम जानते हैं कि
|\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)|² = |\(\vec { a } \)|² + |\(\vec { b } \)|² + 2|\(\vec { a } \) |.|\(\vec { b } \)|
सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् हैं, तब
\(\vec { a } \) .\(\vec { b } \) = 0
⇒ |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)|² = |\(\vec { a } \)|² + |\(\vec { b } \)|² यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 23. सिद्ध कीजिए कि
\(\vec { a } \) × ( \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) ) + \(\vec { b } \) × ( \(\vec { c } \) + \(\vec { a } \) ) + \(\vec { c } \) × ( \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) ) = 0
हल:

प्रश्न 24.
विस्थापन \(\vec { d } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) के अनुदिश कार्य करने वाले बल \(\vec { F } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिये।
हल:
कार्य = \(\vec { F } \).\(\vec { d } \)
= (2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ).(3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) )
= 6 – 2 + 3 = 7 इकाई।

प्रश्न 25.
दो सदिशों \(\vec { d } \) तथा \(\vec { b } \) जिनके परिमाण समान हैं में से प्रत्येक का परिणाम ज्ञात कीजिये जबकि उनके बीच का कोण 60° है तथा उनका अदिश गुणनफल \(\frac{9}{2}\) हैं।
हल:
अदिश गुणन की परिभाषा से,

प्रश्न 26.
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये जिसकी दो आसन्न भुजायें सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और
\(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) |\(\vec { a } \) × \(\vec { b } \)|

अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) \(\sqrt{155}\).

प्रश्न 27.
यदि \(\vec { a } \) = 4\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { k } \) हो, तो |2\(\vec { b } \) × \(\vec { a } \)| का मान ज्ञात कीजिये।
हल:

प्रश्न 28.
यदि \(\vec { a } \) = 4\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { k } \) हो, तो |\(\vec { b } \) × 2\(\vec { a } \)| का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 29.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 5\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तो \(\vec { b } \) का \(\vec { a } \) पर अदिश प्रक्षेप ज्ञात कीजिये।
हल:
सदिश \(\vec { b } \) का \(\vec { a } \) की दिशा में अदिश प्रक्षेप

= \(\frac{10-3+2}{3}\)
= \(\frac{9}{3}\) = 3.

प्रश्न 30.
यदि \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = – \(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) हो, तो |\(\vec { a } \) × \(\vec { b } \)| का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

सदिश बीजगणित दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दर्शाइये कि बिन्दु A(-2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ), B( \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) और C(7\(\hat { i } \) + 0\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) ) संरेख हैं। (NCERT)
हल:
माना O मूलबिन्दु है, तब बिन्दुओं A, B और C के स्थिति सदिश हैं –

अतः सदिश \(\overrightarrow{A B}\) और \(\overrightarrow{B C}\) समांतर हैं परन्तु B, \(\overrightarrow{A B}\), और \(\overrightarrow{B C}\) का उभयनिष्ठ बिन्दु हैं। अतएव दिए हुए बिन्दु A, B और C संरेख हैं। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 2.
यदि बिन्दुओं A, B, C और D के स्थिति सदिश क्रमश: 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { k } \), 5\(\hat { i } \) + 3\(\sqrt{3}\)\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \), -2\(\sqrt{3}\)\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और 2\(\hat { i } \) + \(\hat { k } \) हैं, तो सिद्ध कीजिए –
CD||AB और CD = \(\frac{2}{3}\) \(\vec { A } \)B
हल:
माना O मूलबिन्दु है, तब

⇒ \(\overrightarrow{C D}\), \(\overrightarrow{A B}\) के समांतर है और \(\overrightarrow{C D}\) = \(\frac{2}{3}\) × \(\overrightarrow{A B}\) यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 3.
यदि त्रिभुज ABC का केन्द्रक G हो, तो सिद्ध कीजिए कि –
\(\overrightarrow{G A}\) + \(\overrightarrow{G B}\) + \(\overrightarrow{G C}\) = \(\vec { 0 } \).
हल:
माना त्रिभुज ABC के शीर्षों A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec { a } \), \(\vec { b } \) और \(\vec { c } \) हैं।
∴ केन्द्रक G का स्थिति सदिश

अब \(\vec { G } \)A + \(\vec { G } \)B + \(\vec { G } \)C = (A का स्थिति सदिश – G का स्थिति सदिश) + (B का स्थिति सदिश – G का स्थिति सदिश) + (C का स्थिति सदिश – G का स्थिति सदिश)

अतः \(\vec { G } \)A + \(\vec { G } \)B + \(\vec { G } \)C = \(\vec { 0 } \). यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 4.
सदिशों का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिये कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ संगामी होती हैं।
हल:
ABC त्रिभुज की माध्यिकाएँ AD, BE तथा CF हैं।
माना बिन्दुओं A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec { a } \), \(\vec { b } \) और \(\vec { c } \) हैं।


अब माध्यिका AD को 2:1 के अनुपात में विभाजित करने (6) वाले बिन्दु का स्थिति सदिश

माध्यिका BE को 2:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु का स्थिति सदिश

माध्यिका CF को 2:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु का स्थिति सदिश

अतः त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिन्दु G पर मिलती है अर्थात् संगामी हैं जिसका स्थिति सदिश \(\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\) है। बिन्दु G को त्रिभुज का केन्द्रक कहते हैं। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 5.
एक सदिश \(\overrightarrow{O P}\), OX के साथ 45° और OY के साथ 60° कोण बनाती हैं। \(\overrightarrow{O P}\) के द्वारा OZ के साथ बनाया गया कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना सदिश \(\overrightarrow{O P}\), अक्षों OX, OY और OZ के साथ क्रमशः α, β, γ कोण बनाती हैं, तब
α = 45°, β = 60°
∴ l = cos α = cos 45° = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
m = cos β = cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
और n = cos γ
हम जानते हैं कि
l² + m² + n² = 1

cos γ = \(\frac{1}{2}\) था cos γ = – \(\frac{1}{2}\)
γ = 60° था 120°

प्रश्न 6.
परिमाण 5\(\sqrt{2}\), की एक सदिश \(\vec { a } \) ज्ञात कीजिए जो X – अक्ष के साथ \(\frac { \pi }{ 4 } \), Y – अक्ष के साथ \(\frac { \pi }{ 2 } \) और Z – अक्ष के साथ न्यूनकोण θ बनाती है।
हल:
दिया गया है –
α = \(\frac { \pi }{ 4 } \), β = \(\frac { \pi }{ 2 } \), γ = θ
I = cos \(\frac { \pi }{ 4 } \) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), m = cos \(\frac { \pi }{ 2 } \) = 0, n = cos θ
हम जानते हैं कि
l² + m² + n² = 1
⇒ ( \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) )² + 0 + n² = 1
⇒ \(\frac{1}{2}\) + n² = 1
∴ n² = \(\frac{1}{2}\)
cos² θ = \(\frac{1}{2}\)
cos θ = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
∴ θ = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
सदिश की दिक् कोज्यायें \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), 0, \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) )² = a²b² – ( \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) )²।
हल:
L.H.S. = ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) )² = ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) )
= (absin θ\(\hat { n } \) ).(ab sinθ \(\hat { n } \) ) = a²b² sin² θ \(\hat { n } \).\(\hat { n } \)
= a²b² sin² θ
= a²b² – a²b² cos ² θ
= a²b² – (ab cos θ)²
= a²b² – ( \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) )² = R.H.S यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 8.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) हो तो \(\vec { a } \) × ( \(\vec { b } \) × \(\vec { c } \) ) का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)

प्रश्न 9.
उस समान्तर षटफलक का आयतन ज्ञात कीजिये जिसकी तीन कोरें निम्न सदिशों से निरूपित हैं –
\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
हल:
माना
\(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)

= 1(1 – 2) – 1(-1 -2) + 1(1 + 1)
= -1 + 3 + 2
= 4 इकाई।

प्रश्न 10.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) हो, तो [\(\vec { a } \) \(\vec { b } \) \(\vec { c } \)] का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)

= 2(1 – 2) – 1(3 – 1) + 2(- 6 + 1)
= – 2 – 2 – 10 = – 14.

प्रश्न 11.
यदि \(\vec { a } \) = 3\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) और \(\vec { c } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) हो, तो \(\vec { a } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 8 की भाँति हल कीजिये।

प्रश्न 12.
यदि a = \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = -2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) तथा \(\vec { c } \) = \(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) हो, तो सिद्ध कीजिए कि सदिश \(\vec { a } \), \(\vec { b } \), \(\vec { c } \) समतलीय हैं।
हल:
यदि \(\vec { a } \), \(\vec { b } \), \(\vec { c } \) समतलीय हैं, तो उनके अदिश त्रिक गुणन शून्य होना चाहिए अर्थात्
[ \(\vec { a } \) \(\vec { b } \) \(\vec { c } \) ] = 0

= 1(15 – 12) + 2(-10 + 4) + 3(6 – 3)
= 1(3) + 2(-6) + 3(3) = 12 – 12 = 0

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिये 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) तथा 3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \)
दिये गये सदिश समतलीय हैं तब [ \(\bar { a } \) \(\bar { b } \) \(\bar { c } \) ] = 0

L.H.S = 2(10 – 12) -1(-5 + 4) + 3(3 – 2)
= -4 + 1 + 3
= 0 यही सिद्ध करना था।
अतः \(\bar { a } \) \(\bar { b } \) \(\bar { c } \) समतलीय हैं।

प्रश्न 14.
(A) λ का मान ज्ञात कीजिये यदि सदिश λ\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), 2\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) और 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) समतलीय हैं।
हल:
माना \(\vec { a } \) = λ\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 2\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \), \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \)
दिये गये सदिश समतलीय होंगे यदि
[ \(\vec { a } \) \(\vec { b } \) \(\vec { c } \) ] = 0

⇒ λ(8 – 9) – 2 (12 – 6) + 2(9 – 4) = 0
⇒ -λ – 12 + 10 = 0
⇒ λ = -2

(B)
λ का मान ज्ञात कीजिये यदि निम्न सदिश समतलीय हैं –
\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \), λ\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + λ\(\hat { k } \)।
हल:
प्रश्न क्र. 13 की भाँति हल कीजिये।
[उत्तर: λ = – \(\frac{18}{5}\) ]

(C)
λ का मान ज्ञात कीजिये जबकि सदिश 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) तथा 3\(\hat { i } \) + λ\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) समतलीय हैं।
हल:
प्रश्न क्र. 14 (A) की भाँति हल कीजिये।
[उत्तर: λ = – \(\frac{18}{5}\) ]

प्रश्न 15.
यदि दो इकाई सदिशों \(\bar { a } \) तथा \(\bar { b } \) के बीच का कोण हो, तो सिद्ध कीजिए कि
cos \(\frac { \theta }{ 2 } \) = \(\frac{1}{2}\) |\(\bar { a } \) + \(\bar { b } \)|.
हल:

प्रश्न 16.
दो इकाई सदिश \(\vec { a } \) तथा \(\vec { b } \) के बीच का कोण θ हो, तो सिद्ध कीजिए कि
sin \(\frac { \theta }{ 2 } \) = \(\frac{1}{2}\) |\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)|.
हल:

प्रश्न 17.
किसी त्रिभुज ABC में सिद्ध कीजिए कि
(A) ac cos B – bc cos A = a² – b²
(B) 2(bc cos A + ca cos B + ab cos C) = a² + b² + c².
हल:
माना की \(\overrightarrow{B C}\) = \(\vec{a}\), \(\overrightarrow{C A}\) = \(\vec{b}\), \(\overrightarrow{A B}\) = \(\vec{c}\) तथा \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) के मापांक क्रमश: a, b, c हैं।

(A) ac cos B – bc cos A = -ac cos (π – B) + bc cos (π – A)

यही सिद्ध करना था।

(B) 2 (bc cos A + ca cos B + ab cos C)

यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 18.
∆ABC में सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि c = a cos B + bcos A.
हल:
∆ ABC में त्रिभुज के योग नियम से,
\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) = \(\vec { 0 } \)

⇒ c² = ac cos B + bc cos A
⇒ c² = c(a cos B + b cos A)
⇒ c = a cos B + b cos A

प्रश्न 19.
∆ABC में सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि
b² = a² + c² – 2ac cos B.
हल:
हम जानते हैं कि ∆ABC में,


⇒ b² = a² + c² + 2ac cos (π – B)
∴ b² = a² + c² – 2ac cos B. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 20.
∆ABC में सदिश विधि से सिद्ध कीजिए –
(A) a² = b² + c² – 2bc cos A
(B) c² = a² + b² – 2ab cos C.
हल:
प्रश्न क्र. 19 की भाँति स्वयं हल कीजिये।

प्रश्न 21.
(A) सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 4\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \) में से प्रत्येक पर लम्ब मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 4\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \)

(B)
सदिशों \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) में से प्रत्येक पर लम्ब मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 21 (A) की भाँति हल कीजिये।

(C)
सदिशों \(\vec { a } \) = 3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) में से प्रत्येक पर लम्ब मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 21 (A) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर:
\(\bar { n } \) = ± \(\frac{1}{5 \sqrt{3}}\) ( 5\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 7\(\hat { k } \) ).

प्रश्न 22.
सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) में से प्रत्येक पर लम्ब मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 21 (A) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर:
\(\bar { n } \) = ± \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ( \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) )

प्रश्न 23.
उस समानान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण 3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) और \(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) हैं।
हल:
ABCD एक समानान्तर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण \(\overline{A C}=\bar{d}_{1}\) तथा \(\overline{B D}=\bar{d}_{2}\) हैं।
दिया है:



∴ समानान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

प्रश्न 24.
सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल:
माना OAB एक समकोण त्रिभुज है जिसमें सिद्ध करना है कि AB² – OA² + OB²
माना कि मूलबिन्दु O के सापेक्ष A और B के स्थिति सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) हैं।
∵ OA और OB परस्पर लम्बवत् हैं,
∴ \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 0
अब \(\vec { AB } \) = B का स्थिति सदिश – A का स्थिति सदिश

प्रश्न 25.
5\(\hat { i } \) + \(\hat { k } \) से निरूपित बल बिन्दु 9\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) पर लगा हुआ है, बिन्दु 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) के परितः सदिश आघूर्ण ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\vec { F } \) = 5\(\hat { i } \) + \(\hat { k } \) = 5\(\hat { i } \) + 0\(\hat { j } \) + 1\(\hat { k } \)
O का स्थिति सदिश = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + k
P का स्थिति सदिश = 9\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)
\(\vec { O } \)P = P का स्थिति सदिश – O का स्थिति सदिश
= 9\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) – (3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) )


बल \(\vec { F } \) का बिंदु P के परितः आधूर्ण = \(\vec { r } \) × \(\vec { F } \)

प्रश्न 26.
(A) सिद्ध कीजिये कि
\(\hat { i } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\hat { i } \) ) + \(\hat { j } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\hat { j } \) ) + \(\hat { k } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\vec { k } \) ) = 2\(\vec { a } \).
हल:

(B) सिद्ध कीजिये कि
\(\vec { a } \) × ( \(\vec { b } \) × \(\vec { c } \) ) + \(\vec { b } \) × ( \(\vec { c } \) × \(\vec { a } \) ) + \(\vec { c } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) ) = \(\vec { 0 } \).
हल:
चूँकि

प्रत्येक को जोड़ने पर,

प्रश्न 27.
सिद्ध कीजिये कि [ \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) \(\vec { b } \) × ( \(\vec { c } \) × \(\vec { a } \) ) + \(\vec { c } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) )
हल:

प्रश्न 28.
दो बल \(\vec { P } \) = 4\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) और \(\vec { Q } \) = 3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) एक कण पर क्रिया करते हैं, जिससे कण बिन्दु A (1, 2, 3) से बिन्दु B (5, 4, 1) तक विस्थापित होता है। बलों द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 29.
एक कण पर दो स्थिर बल 4\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \)) व 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) कार्य करते हैं। वह कण बिन्दु \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) से बिन्दु 5\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) तक विस्थापित हो जाता है। बलों द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 30.
6 इकाई का बल जो सदिश 2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) के समान्तर कार्य करता है एवं एक कण को बिन्दु \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) से 5\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 7\(\hat { k } \) तक विस्थापित कर देता है। बल के द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिये।
हल:
सदिश 2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) समान्तर इकाई सदिश

प्रश्न 31.
सिद्ध कीजिए कि [ \(\vec { a } \) – \(\vec { b } \) \(\vec { b } \) – \(\vec { c } \) \(\vec { c } \) – \(\vec { a } \) ] = 0।
हल:
अदिश त्रिक गुणन की परिभाषा से,

MP Board Class 12th Maths Important Questions