MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.1
प्रश्न 1 से 5 तक प्रत्येक व्यंजक का प्रसार ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
(1 – 2x)5
हल:
प्रश्न 2.
\(\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{2}\right)^{5}\)
हल:
प्रश्न 3.
\((2 x-3)^{6}\).
हल:
प्रश्न 4.
\(\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{x}\right)^{5}\).
हल:
प्रश्न 5.
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{6}\).
हल:
प्रश्न : द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए (प्रश्न 6 से 9 तक)
प्रश्न 6.
(96)3.
हल:
(96)3 = \((100-4)^{3}=(100)^{3}+3 C_{1}(100)^{2} \cdot(-4)+^{3} C_{2}(100)^{1}(-4)^{2}+(-4)^{3}\)
= 1000000 + 3 x 10000 (- 4) + 3 x 100 x 16 – 64
= 1000000 – 120000 + 4800 – 64 = 884736.
प्रश्न 7.
(102)5.
हल:
(102)5 = (100 + 2)5 = \((100)^{5}+^{5} C_{1}(100)^{4} \times 2+^{5} C_{2}(100)^{3} 2^{2}\) + \(^5 \mathrm{C}_{3}(100)^{2} \times 2^{3}+^{5} \mathrm{C}_{4}(100) \times 2^{4}+2^{5}\)
= 10000000000 + 5 x 100000000 x 2 + 10 x 1000000 x 4 + 10 x 10000 x 8+5 x 100 x 16 + 32
= 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32
= 11040808032.
प्रश्न : 8.
(101)4.
हल:
(101)4 = (100 + 1)4 = \((100)^{4}+^{4} C_{1} \times(100)^{3} \times 1+^{4} C_{2} \times(100)^{2} \times 1^{2}\) + \(^{4} C_{3} \times(100) \times 1^{3}+1^{4}\)
= 100000000 + 4 x 1000000 + 6 x 10000 + 400 + 1
= 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1
= 104060401.
प्रश्न 9.
(99)5.
हल:
(99)5 = (100 – 1)5 = \((100)^{5}+^{5} C_{1} \times(100)^{4} \times(-1)\) + \(^{5} C_{2} \times(100)^{3} \times(-1)^{2}+^{5} C_{3} \times(100)^{2} \times(-1)^{3}\) + \(^{5} C_{4} \times(100) \times(-1)^{4}+(-1)^{5}\)
= 10000000000 – 5 x 100000000 + 10 x 1000000 – 10 x 10000 + 5 x 100 – 1
= 10000000000 – 500000000 + 10000000 – 100000 + 500 – 1
= 9509900499.
प्रश्न 10.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है-
(1.1)10000 या 1000
हल:
(1.1)10000 = (1 + 0.1)10000
= \(1^{10000}+10000 C_{1} \times 1^{9999}(0.1)^{1}\)
= 1 + 10000 x (0.1) + …. = 1001 +…
स्पष्ट है कि (1.1)10000 संख्या 1000 से बड़ी है।
प्रश्न 11.
(a + b)4 – (a – b)4 का विस्तार कीजिए। इसका प्रयोग करके \((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{4}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{4}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 12.
(x + 1)6 + (x – 1)6 का मान ज्ञात कीजिए। इसका प्रयोग करके या अन्यथा \((\sqrt{2}+1)^{6}+(\sqrt{2}-1)^{6}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 13.
दिखाइए कि 9n+1 – 8n – 9, 64 से विभाज्य है जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
हल:
(1 + x)n + 1 का प्रसार करने पर,
प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि \(\sum_{r=0}^{n} 3^{r} \cdot^{n} C_{r}\) = 4.
हल:
