MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय Ex 12.2

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय Ex 12.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बिन्दु-युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए :
(i) (2, 3, 5) और (4, 3, 1)
हल:
दो बिन्दु (x1, y1, z1) और (x2, y2, z2) के बीच की दूरी
= \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}\)
बिन्दु (2, 3, 5) और (4, 3, 1) के बीच की दूरी
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(ii) (- 3, 7, 2) और (2, 4, – 1)
हल:
बिन्दु (-3, 7, 2) और (2, 4, -1) के बीच की दूरी
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(iii) (- 1, 3, – 4) और (1, – 3, 4)
हल:
बिन्दु (- 1, 3, – 4) और (1, – 3, 4) के बीच की दूरी
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(iv) (2, – 1, 3) और (- 2, 1, 3).
हल:
बिन्दु (2, – 1, 3) और (- 2, 1, 3) के बीच की दूरी
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प्रश्न 2.
दर्शाइए कि बिन्दु (- 2, 3, 5), (1, 2, 3) और (7, 0, – 1) सरेख हैं।
हल:
मान लीजिए बिन्दु A(- 2, 3, 5), और B(1, 2, 3) के बीच की दूरी
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यहाँ AB + BC = AC
अतः बिन्दु A, B, C सरेख हैं।

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प्रश्न 3.
निम्नलिखित को सत्यापित कीजिए :
(i) (0, 7, – 10), (1, 6, – 6), और (4, 9, – 6) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल:
माना त्रिभुज ABC के शीर्ष A(0, 7, – 10), B(1, 6, – 6) और C(4, 9, – 6) हैं।
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अतः दिए गए शीर्ष समद्धिबाहु त्रिभुज के हैं।

(ii) (0, 7, 10), (- 1, 6, 6) और (- 4, 9, 6) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल:
माना त्रिभुज PQR के शीर्ष P(0, 7, 10), Q(- 1, 6, 6) और R(- 4, 9, 6) हों, तब
PQ2 = (- 1 – 0)2 + (6 – 7)2 + (6 – 10)2
= 1 + 1 + 16 = 18
QR2 = (- 4 + 1)2 + (9 – 6)2 + (6 – 6)2
= 9 + 9 + 0 = 18
PR2 = (- 4 – 0) + (9 – 7) + (6 – 10)2
= 16 + 4 + 16
= 36
PQ2 + QR2 = 18 + 18 = 36
अब PR2 = 36
∴ PQ2 + QR2 = PR2
अतः दिए गए शीर्ष समकोण त्रिभुज के हैं।

(iii) (- 1, 2, 1), (1, – 2, 5), (4, – 7, 8) और (2, – 3, 4) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल:
माना चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A(- 1, 2, 1), B(1, – 2, 5), C(4, – 7, 8) और D(2, – 3, 4) हों, तब
AB2 = (1 + 1)2 + (- 2 – 2)2 + (5 – 1)2
= 4 + 16 + 16 = 36
BC2 = (4 – 1)2 + (- 7 + 2)2 + (8 – 5)2
= 9 + 25 + 9 = 43
CD2 = (2 – 4)2 + (- 3 + 7)2 + (4 – 8)2
= 4 + 16 + 16 = 36
AD2 = (2 + 1)2 + (- 3 – 2)2 + (4 – 1)2
= 9 + 25 + 9 = 43.
AB2 = CD2 और BC2 = AD2
AB = CD और BC = AD
अतः दिए गए बिन्दु एक समांतर चतुर्भुज के हैं।

प्रश्न 4.
ऐसे बिन्दुओं के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1, 2, 3) और (3, 2, -1) से समदूरस्थ हैं।
हल:
माना कोई बिन्दु P(x, y, z) बिन्दु A(1, 2, 3) और बिन्दु B(3, 2, – 1) से समान दूरी पर है।
अर्थात् PA = PB
या PA2 = PB2
(x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = (x – 3)2+ (y – 2)2 + (z + 1)2
(x2 – 2x + 1) + (z2 – 6z + 9) = (x2 – 6x + 9) + (z2 + 2z + 1)
– 2x + 6x – 6z – 2z + 10 – 10 = 0
या 4x – 8z = 0
अंत: अभीष्ट समीकरण x – 2z = 0.

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प्रश्न 5.
बिन्दुओं P से बने समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी बिन्दुओं A(4, 0, 0) और B(- 4, 0, 0) से दूरियों का योगफल 10 है।
हल:
माना बिन्दु P के निर्देशांक (x, y, z) हैं।
या
दिए गए बिन्दु A(4, 0, 0) और B(- 4, 0, 0) इस प्रकार हैं कि PA + PB = 10
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