MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी विविध प्रश्नावली

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
दर्शाइए कि किसी समांतर श्रेढ़ी के (m + n) वें तथा (m – n) पदों का योग m वें पद का दुगुना है।
हल:
मान लीजिए समांतर श्रेढ़ी का पहला पद a और सार्व अंतर d है।

प्रश्न 2.
यदि किसी समांतर श्रेढ़ी की तीन संख्याओं का योग 24 है तथा उनका गुणनफल 440 है तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए समांतर श्रेढ़ी की तीन संख्याएँ a – d, a और a + d हैं।
तीनों संख्याओं का योग = (a – d) + a + (a + d) = 24
∴ 3a = 24 या a = 8
तीन संख्याओं का गुणनफल = (a – d). a .(a + a)
= a (a² – d²)
= 8(64 – d²) [∵ a = 8]
या 8(64 – d²) = 440
या 64 – d² = 55
d² = 64 – 55 = 9 या d = 3
अतः अभीष्ट संख्याएँ 5, 8, 11.

प्रश्न 3.
माना कि किसी समांतर श्रेढ़ी के n, 2n तथा 3n पदों का योगफल क्रमशः S₁, S₂ तथा S₃ हैं, तो दिखाइए कि S₃ = 3(S₂ – S₁).
हल:
मान लीजिए समांतर श्रेढ़ी का पहला पद a और सार्व अंतर d है।

प्रश्न 4.
200 और 400 के मध्य आने वाली उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 7 से विभाजित हों।
हल:
200 से 400 के मध्य आने वाली संख्याएँ 203, 210, 217,…….., 399
मान लीजिए 399, n वाँ पद है।
∴ 399 = a + (n – 1).7
= 203 + 7 (n – 1)
या 399 – 203 = 196 = 7(n – 1)
∴ n – 1 = \(\frac{196}{7}\) = 28 या n = 29
∴ 203 + 210 + 217 +……+ 399
= \(\frac{29}{2}\)[203 + 399] [∵ S = \(\frac{n}{2}\)(a + l)]
= \(\frac{29}{2}\)(602) = 29 × 301
= 8729.

प्रश्न 5.
1 से 100 तक आने वाले उन सभी पूर्णांकों का योगफल ज्ञात कीजिए जो 2 या 5 से विभाजित हों।
हल:
2 से विभाजित होने वाले पूर्णांक 2, 4, 6,…., 100
इनकी कुल संख्या = 50
5 से विभाजित होने वाले पूर्णांक 5, 10, 15, 20,……100
इनकी कुल संख्या = 20
2 और 5 दोनों से विभाजित होने वाले पूर्णांक 10, 20, 30,…., 100
इनकी कुल संख्या = 10
1 से 100 तक आने वाले पूर्णांक जो 2 या 5 से विभाजित हों, तब
= (2 + 4 + 6 + ……50 पदों तक) + (5 + 10 + 15 +…… 20 पदों तक) – (10 + 20 + 30 +……10 पदों तक)
= \(\frac{50}{2}\)[4 + (50 – 1). 2] + \(\frac{20}{2}\)[10 + (20 – 1).5] – \(\frac{10}{2}\)[20 + (10 – 1). 10]
= \(\frac{50 \times 102}{2}\) + 10 x 105 – 5 x 110
= 2250 + 1050 – 550
= 3050.

प्रश्न 6.
दो अंकों की उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए, जिनको 4 से विभाजित करने पर शेषफल 1 हो।
हल:
दो अंको की वे संख्याएँ जो 4 से विभाजित करने पर 1 शेष रहता है 13, 17, 21,….., 97
मान लीजिए n पद हों, तब n वाँ पद,
97 = 13 + (n – 1). 4
∴ 84 = (n – 1) × 4
∴ n = 22
∴ 13 + 17 + 21 +…..+ 97 = \(\frac{22}{2}\)[26 + (22 – 1).4]
= 11 × (26 + 84)
= 11 × 110
= 1210.

प्रश्न 7.
सभी x, y ϵ N के लिए f(x + y) = f(x).f(y) को संतुष्ट करता हुआ f एक ऐसा फलन है कि f(1) = 3 एवं \(\sum_{x=1}^{n}\)f(x) = 120 तो n का मान ज्ञात करो।
हल:
f(1) = 3, f(2) = f(1 + 1) = f(1) .f(1) = 3.3 = 9
f(3) = f(1 + 2) = f(1). f(2) = 3.9 = 27
f(4) = f(1 + 3) = f(1). (3) = 3 . 27 = 81
इस प्रकार f(1) + f(2) + f(3) +……, n पदों तक
= 3 + 9 + 27 + 81 + ……., n पदों तक = 120
⇒ \(\frac{3\left(3^{n}-1\right)}{3-1}\) = 120
या 3(3ⁿ – 1) = 120 × 2 = 240
3ⁿ – 1 = \(\frac{240}{3}\) = 80
या 3ⁿ = 81 = 3⁴
अतः n = 4.

प्रश्न 8.
गुणोत्तर श्रेढ़ी के कुछ पदों का योग 315 है, उसका प्रथम पद तथा सार्व अनुपात क्रमशः 5 और 2 हैं।
अंतिम पद तथा पदों की संख्या ज्ञात करो।
हल:
दी हुई गुणोत्तर श्रेणी
5 + 10 + 20 + 40 +…….
n पदों का योग = \(\frac{5\left(2^{n}-1\right)}{2-1}\) = 315
∴ 2ⁿ – 1 = 63
या 2ⁿ = 64 = 2⁶
n = 6
6 वाँ पद = 5 × 2⁶ – 1
= 5.2⁵
= 5 × 32 = 160.

प्रश्न 9.
किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 1 है। तीसरे एवं पाँचवें पदों का योग 90 हो, तो गुणोत्तर श्रेढ़ी का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी का सार्व अनुपात r है।
तीसरा पद = ar² = 1.r² = r²
पाँचवाँ पद = ar⁴ = r⁴
तीसरे और पाँचवें पद का योग = r² + r⁴ = 90
r⁴ + r² – 90 = 0
या (r² + 10)(r² – 9) = 0
∴ r² = – 10 मान्य नहीं है।
∴ r² – 9 = 0, r² = 9
∴ r = ± 3.

प्रश्न 10.
किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के तीन पदों का योग 56 है। यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाएँ तो हमें एक समांतर श्रेढ़ी प्राप्त होती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी की तीन संख्याएँ a, ar, ar² हैं।
तीनों पदों का योग = a + ar + ar² = 56 …..(1)
इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाने पर संख्याएँ
ar – 1, ar – 7, ar² – 21 समांतर श्रेढ़ी में हैं।
∴ 2(ar – 7) = (a – 1) + (ar² – 21)
या 2ar – 14 = ar² + a – 22
ar² – 2ar + a = 22 – 14 = 8 ….(2)
समी. (1) को (2) से भाग देने पर
= \(\frac{a\left(1+r+r^{2}\right)}{a\left(1-2 r+r^{2}\right)}\) = \(\frac{56}{8}\) = 7
या 7(1 – 2r + r²) = 1 + r + r²
6r² – 15r + 6 = 0
2r² – 5r + 2 = 0
या (r – 2) (2r – 1) = 0 या r = 2, \(\frac{1}{2}\)
समी (1) में r = 2 रखने पर,
a(1 + 2 + 4) = 56 या a = \(\frac{56}{7}\) = 8
इस प्रकार तीन संख्याएँ हैं: 8, 16, 32.
पुन: समी (1) में r = \(\frac{1}{2}\) रखने से,
a\(\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\) = 56
a = \(\frac{56 \times 4}{7}\) = 32
∴ तीन संख्याएँ 32, 16, 8.
अतः अभीष्ट संख्याएं 8, 16, 32 हैं।

प्रश्न 11.
किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों की संख्या सम है। यदि उसके सभी पदों का योगफल, विषम स्थान पर रखे पदों के योगफल का 5 गुना है, तो सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी का पहला पद = a सार्व अनुपात = r और पदों की संख्या = 2n
सभी पदों का योगफल = \(\frac{a\left(r^{2 n}-1\right)}{r-1}\)
विषम स्थानों पर रखे पद a, ar², ar⁴, …. n पदों तक
इनका योग = a + ar² + ar² +……n पदों तक
= \(\frac{a\left[\left(r^{2}\right)^{n}-1\right]}{r^{2}-1}=\frac{a\left(r^{2 n}-1\right)}{r^{2}-1}\)
दिया है :
गुणोत्तर श्रेढ़ी के 2n पदों का योगफल = 5 × [विषम स्थानों पर स्थित पदों का योगफल]

प्रश्न 12.
एक समांतर श्रेढ़ी के प्रथम चार पदों का योगफल 56 है। अंतिम चार पदों का योगफल 112 है। यदि इसका प्रथम पद 11 है, तो पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए समांतर श्रेणी
a + (a + d) + (a + 2a) +……+ l जबकि l अंतिम पद n वाँ पद है।
प्रथम 4 पदों का योगफल = \(\frac{4}{2}\)[2a + (4 – 1) d]
= 2[22 + 3d] [∵ a = 11]
दिया है: 2[22 + 3d) = 56
⇒ 3d + 22 = 28 या d = 2
अंतिम पद = a + (n – 1) d = 11 + (n – 1).2
= 2n + 9
अंतिम चार पद 2n + 9, 2n + 7, 2n + 5, 2n + 3
इनका योगफल = \(\frac{4}{2}\)[2(2n + 9) + (4 – 1). (- 2)]
= 2[4n + 18 – 6]
= 2[4n + 12]
दिया है : 2(4n + 12) = 112
∴ 4n + 12 = 56
4n = 56 – 12 = 44
∴ n = 11.

प्रश्न 13.
यदि \(\frac{a+b x}{a-b x}=\frac{b+c x}{b-c x}=\frac{c+d x}{c-d x}\) (x ≠ 0) हो, तो दिखाइए कि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में है।
हल:

अतः a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में है।

प्रश्न 14.
किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी में S,n पदों का योग, P उनका गुणनफल तथा R उनके व्युत्क्रमों का योग हो तो सिद्ध कीजिए कि P²Rⁿ = Sⁿ.
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी a + ar + ar² +….. + ar^{n – 1}
इन n पदों का गुणनफल, P = a. ar . ar²….. ar^{n – 1}
= aⁿ. r^{1 + 2 +…+ (n – 1)}
= \(a^{n} r \frac{n(n-1)}{2}\)

अतः P²Rⁿ = Sⁿ.

प्रश्न 15.
किसी समांतर श्रेढ़ी का p वाँ, धूवाँ, वाँ पद क्रमशः a, b, c हैं, तो सिद्ध कीजिए
(q – r)a + (r – p)b + (p – q) c = 0.
हल:
मान लीजिए समांतर श्रेणी
A + (A + d) + (A + 2d) +…. है।
p वाँ पद = A + (p – 1) d = a ….(1)
q वाँ पद = A + (q – 1) d = b ….(2)
r वाँ पद = A + (r – 1) d=c …..(3)
समी (2) में से समी (3) को, समी (3) में से समी (1) को, समी (1) में से समी (2) को घटाने पर
(q – r)d = b – c ….(4)
(r – p)d = c – a …(5)
(p – q)d = a – b ….(6)
समीकरण (4), (5) तथा (6) को क्रमशः a, b तथा c से गुणा करके जोड़ने पर,
a(q – r)d + b(r – p)d + c(p – d)d
= a(b – c) + b(c – a) + c(a – b)
= ab – ac + bc – ba + ca – bc
= 0
दोनों पक्षों में d से भाग देने पर,
(q – r)a + (r – p)b + (p – q)c = 0.

प्रश्न 16.
यदि \(a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) समांतर श्रेड़ी में हैं, तो सिद्ध करो कि a, b, c समांतर भेट्टी में हैं।
हल:

प्रश्न 17.
यदि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि \(\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)\) गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
हल:
a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
मान लीजिए सार्व अनुपात r है।

प्रश्न 18.
यदि x² – 3x + p = 0 के मूल a तथा b हैं तथा x² – 12x + q = 0 के मूल c तथा d हैं, जहाँ a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी के रूप में हैं। सिद्ध कीजिए कि
(q+ p) : (q – p) = 17 : 15.
हल:
यदि समीकरण Ax² + Bx + C = 0 के मूल a , B हैं, तो
α + β = \(\frac{-B}{A}\), αβ = \(\frac{C}{A}\)
दिया है कि x² – 3x + p = 0 के मूल a, b हैं
∴ a+ b = 3, ab = p …..(1)
इसी प्रकार x² – 12x + q = 0 के मूल c, d हैं
∴ c + d = 12. cd = q …..(2)
अब a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, जिसका मान लीजिए r सार्व अनुपात है।
∴ b = ar, c = ar², d= ar³
a + b = 3, a + ar = 3 …(3)
c + d = 12 या ar² + ar³ = 12 …(4)
समी (3) को (4) से भाग देने पर,

प्रश्न 19.
दो धनात्मक संख्याओं a और b के बीच समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य का अनुपात m : n है। दर्शाइए कि
a : b = \((m+\sqrt{m^{2}-n^{2}}):(m-\sqrt{m^{2}-n^{2}})\).
हल:
a और b के बीच समांतर माध्य = \(\frac{a+b}{2}\)
a और b के बीच गुणोत्तर माध्य = \(\sqrt{a b}\)
दोनों माध्यों का अनुपात m : n

प्रश्न 20.
यदि a, b, c समांतर श्रेढ़ी में हैं; b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं तथा \(\frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e}\) समांतर श्रेढ़ी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, c, e गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
हल:
a, b, c समांतर श्रेढ़ी में हैं ∴ \(\frac{a+c}{2}\) = b …(1)
b, c, d, गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, ∴ bd = c² …(2)
\(\frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e}\) समांतर श्रेढ़ी में हैं, ∴ \(\frac{2}{d}\) = \(\frac{1}{c}+\frac{1}{e}\)
⇒ d = \(\frac{2 c e}{c+e}\) …..(3)
b और d का मान (1) और (3) से लेकर (2) में रखने पर

प्रश्न 21.
निम्नलिखित श्रेढ़ियों के n पदों का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 5 + 55 + 555+ ……
(ii) 0.6 + 0.66 + 0.666 +…..
हल:
(i) S = 5 + 55 + 555 +…..n पदों तक

(ii) S = 0.6 + 0.66 + 0.666 +….n पदों तक

प्रश्न 22.
श्रेढ़ी का 20वाँ पद ज्ञात कीजिए :
2 × 4 + 4 × 6 + 6 × 8 +…..+ n पदों तक
हल:
2, 4, 6,….. का 20 वाँ पद = 2n = 2 × 20 = 40.
4, 6, 8….. का 20 वाँ पद = 4 + 19 × 2 = 4 + 38 = 42
∴ 2 × 4 + 4 × 6 + 6 × 8+…… का 20 वाँ पद
= 40 × 42 = 1680.

प्रश्न 23.
श्रेणी 3 + 7 + 13 + 21 + 31 +….. के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:

= n² + n – 2 +3
= n² + n + 1
∴ दी हुई श्रेणी का योग
= Σn² + Σn + n
= \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}+n\)
= \(\frac{n}{6}\)[(n + 1)(2n + 1) + 3(n + 1) + 6]
= \(\frac{n}{6}\)[2n² + 6n + 10]
= \(\frac{n}{3}\)[n² + 3n + 5].

प्रश्न 24.
यदि S₁, S₂, S₃, क्रमशः प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग, उनके वर्गों का योग तथा घनों का योग है, तो सिद्ध कीजिए कि
\(9 S_{2}^{2}=S_{3}\left(1+8 S_{1}\right)\)
हल:
S₁ = n प्राकृत संख्याओं का योग
= 1 + 2 + 3 +…..n पदों तक
= \(\frac{n(n+1)}{2}\) …..(1)
S₂ = n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग
= 1² + 2² + 3² +…..+ n²
= \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\) …..(2)
S₃ = n प्राकृत संख्याओं के घनों का योग
= 1³ + 2³ + 3³ +…..+ n³
= \(\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\)

प्रश्न 25.
निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों का योग ज्ञात कीजिए :
\(\frac{1^{3}}{1}+\frac{1^{3}+2^{3}}{1+3}+\frac{1^{3}+2^{3}+3^{3}}{1+3+5}+\ldots\)
हल:
अंश में दी हुई संख्याएँ 1³, 1³ + 2³, 1³ + 2³ + 3³, …..
n वाँ पद = 1³ + 2³ + 3³ +…..+ n³
= \(\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\)
हर में दी हुई संख्याएँ 1, (1 + 3), (1 + 3 + 5), ……
n वाँ पद = 1 + 3 + 5 +……n पदों तक

प्रश्न 26.
दशाइए कि \(\frac{1 \times 2^{2}+2 \times 3^{2}+\ldots . .+n(n+1)^{2}}{1^{2} \times 2+2^{2} \times 3+\ldots .+n^{2}(n+1)}\) = \(\frac{3 n+5}{3 n+1}\).
हल:

प्रश्न 27.
कोई किसान एक पुराने ट्रैक्टर को 12000 रू. में खरीदता है। वह 6000 रु. नकद भुगतान करता है और शेष राशि को 500 रू की वार्षिक किस्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो 12% वार्षिक ब्याज भी देता है। किसान को ट्रैक्टर की कुल कितनी कीमत देनी पड़ेगी?
हल:
पुराने ट्रैक्टर का मूल्य = 12000 रू
नकद भुगतान = 6000 रू
शेष = 12000 – 6000 = 6000 रू
एक किस्त का भुगतान = 500 रू
कुल किस्तें = \(\frac{6000}{12}\) = 12
P मूलधन पर 12% प्रतिवर्ष की दर से 1 वर्ष का ब्याज
= \(\frac{P \times 12 \times 1}{100}=\frac{3}{25} P\)

कुल भुगतान = (12000 + 4680) रू
= 16680 रू।

प्रश्न 28.
शमशाद अली 22000 रू में एक स्कूटर खरीदता है। वह 4000 रू नकद देता है और शेष राशि को 1000 रू वार्षिक किस्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो 10% वार्षिक ब्याज भी देता है। उसे स्कूटर के लिए कुल कितनी राशि चुकानी पड़ेगी?
हल:
स्कूटर की कीमत = 22000 रू
नकद भुगतान = 4000 रू
शेष = 22000 – 4000 = 18000 रू
एक किस्त की राशि = 1000 रू
∴ कुल किस्तें = \(\frac{18000}{1000}\) = 18
P मूलधन पर एक वर्ष का 10% प्रति वर्ष की दर से ब्याज
= \(\frac{P \times 10 \times 1}{100}\) = \(\frac{P}{10}\)
किस्त देने के बाद शेष राशि जिस पर एक वर्ष का ब्याज लगना है,
= 18000, 17000, 16000,….., 1000
कुल ब्याज की राशि
= \(\frac{1}{10}\)(18000 + 17000 + 16000 +…..+ 18 पदों तक)
= \(\frac{1}{10} \times \frac{18}{2}\)[2 × 18000 – (18 – 1) × 1000]
= \(\frac{9}{10}\)[36000 – 17000)
= \(\frac{9 \times 19000}{10}\) = 17100 रू
कुल किश्तों की राशि = 18000 रू
नकद = 4000 रू
कुल भुगतान = (18000 + 17000) + 4000 रू
= 39,100 रू।

प्रश्न 29.
एक व्यक्ति अपने चार मित्रों को पत्र लिखता है। वह प्रत्येक को उसकी नकल करके चार दूसरे व्यक्तियों को भेजने का निर्देश देता है, तथा जिनसे यह भी करने को कहता है कि प्रत्येक पत्र प्राप्त करने वाला व्यक्ति इस श्रृंखला को जारी रखे। यह कल्पना करके कि श्रंखला न टूटे तो 8वें पत्रों के समूह भेजे जाने तक कितना डाक खर्च होगा जबकि एक पत्र का डाक खर्च 50 पैसे है।
हल:
पहला व्यक्ति चार पत्र लिखता है। पत्र प्राप्त करने वाले 4 व्यक्ति फिर चार-चार पत्र लिखते हैं। इस प्रकार श्रृंखला बढ़ती चली जाती है।
हर अवसर पर पत्रों की संख्याएँ 4, 16, 24…… 8 पदों तक
कुल पत्रों की संख्या = 4 + 16 + 64 + ……………8 पदों तक
= \(\frac{4\left(4^{8}-1\right)}{4-1}\) = \(\frac{4}{3}\)(65536 – 1)
= \(\frac{4}{3}\) × 65535 = 87380
एक पत्र का डाक खर्च = 50 पै. = \(\frac{1}{2}\)रू
कुल डाक खर्च = 87380 x \(\frac{1}{2}\)
= 43690 रू

प्रश्न 30.
एक आदमी ने एक बैंक में 10000 रूपये 5% वार्षिक साधारण ब्याज पर जमा किया। जब से रकम बैंक में जमा की गई तब से, 15वें वर्ष में उसके खाते में कितनी रकम हो गई तथा 20 वर्षों बाद कल कितनी रकम हो गयी, ज्ञात कीजिए।
हल:
बैंक में जमा की गई राशि = 10000 रू
ब्याज की दर = 5% प्रति वर्ष
एक वर्ष बाद ब्याज = \(\frac{10000 \times 5 \times 1}{100}\) = 500रू
इस प्रकार हर वर्ष उसे 500 रू ब्याज के मिलेंगे।
1 वर्ष, 2 वर्ष, 3 वर्ष,…….बाद ब्याज की राशि
500, 1000, 1500, ….
15 वें वर्ष में ब्याज = (n – 1) × 500 = (15 – 1) x 500
= 14 × 500
= 7000 रू
मूलधन = 10000 रू
उसके खाते में 15वें वर्ष में = 10000 + 7000
= 17000 रू होंगें
20 वर्ष का ब्याज = 20 × 500
= 10000 रू
मूलधन = 10000 रू
20 वर्ष बाद बैंक में कुल जमा राशि = 10000 + 10000 = 20000 रू।

प्रश्न 31.
एक निर्माता घोषित करता है कि उस की मशीन जिसका मूल्य 15625 रूपये है, हर वर्ष 20% की दर से उसका अवमूल्यन होता है। 5 वर्ष के बाद मशीन का अनुमानित मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि किसी मशीन का r% की दर से अवमूल्यन हो रहा है n वर्ष बाद मशीन का मूल्य \(P\left(1-\frac{r}{100}\right)^{n}\) होगा।
प्रारभ में मशीन का मूल्य P रूपये है।
यहां पर P = 15625, r = 20% प्रति वर्ष, n = 5 वर्ष
∴ उस मशीन का 5 वर्ष बाद का मूल्य
= 15625 \(\left(1-\frac{20}{100}\right)^{5}\)
= 15625 \(\left(\frac{4}{5}\right)^{5}\)
= 15625 x (.8),sup>5 = 5120 रू।

प्रश्न 32.
किसी कार्य को कुछ दिनों में पूरा करने के लिए 150 कर्मचारी लगाए गए। दूसरे दिन 4 कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया, तीसरे दिन चार और कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया तथा इस प्रकार अन्य। अब कार्य पूरा करने में 8 दिन अधिक लगते हैं, तो दिनों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें कार्य पूरा किया गया।
हल:
150 कर्मचारी उस कार्य को n दिनों में समाप्त करते हैं
150 कर्मचारियों का 1 दिन का काम = \(\frac{1}{n}\)
1 कर्मचारी का 1 दिन का काम = \(\frac{1}{150n}\)
पहले दिन 150 कर्मचारी 1 दिन में \(\frac{150}{150 n}\) कार्य करते हैं
दूसरे दिन 146 कर्मचारी 1 दिन में \(\frac{146}{150 n}\) कार्य करते हैं
तीसरे दिन 142 कर्मचारी 1 दिन में \(\frac{146}{150 n}\) कार्य करते हैं
वह काम n + 8 दिन में पूरा हुआ
∴ \(\frac{150}{150 n}+\frac{146}{150 n}+\frac{142}{150 n}\) +…….(n + 8) पदों तक = 1
या \(\frac{1}{150 n}\)[150 + 146 + 142 +…n + 8) पदों तक] = 1
या \(\frac{n+8}{2(150 n)}\)[2 x 150 +(n + 8 – 1) x (- 4)] = 1
(n + 8)[300 – 4(n + 7)] = 300n
या (n + 8)(- 4n + 272) = 300n
या (n + 8)(n – 68) = – 75n
या n² – 60n – 544 = – 75n
या n² + 15n – 544 = 0
या (n + 32)(n – 17) = 0
n ≠ – 32 या n = 17
कुल समय = n + 8 दिन
= 17 + 8 = 25 दिन।

MP Board Class 11th Maths Solutions