MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Ex 5.1
प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों में से कौन-कौन से कथन सत्य हैं और कौन-कौन से कथन असत्य हैं ?
अपने उत्तरों के लिए कारण दीजिए :
(i) एक बिन्दु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।
(ii) दो भिन्न बिन्दुओं से होकर जाने वाली असंख्य रेखाएँ हैं।
(iii) एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है।
(iv) यदि दो वृत्त बराबर हैं तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होंगी।
(v) निम्न आकृति में यदि AB = PQ और PQ = XY है तो AB = XY होगा।
उत्तर:
(i) असत्य, क्योंकि एक बिन्दु से अनन्ततः अनेक रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(ii) असत्य, क्योंकि दो भिन्न बिन्दुओं से होकर एक और केवल एक रेखा खींची जा सकती है? (यूक्लिड की अभिधारणा – 1 का अन्तर्विरोध)।
(ii) सत्य, क्योंकि यूक्लिड की अभिधारणा – 2 के अनुसार।
(iv) सत्य, क्योंकि दो समान वृत्त सम्पाती होते हैं तथा उनके केन्द्र, परिधि एवं त्रिज्या भी सम्पाती होती हैं।
(v) सत्य, क्योंकि वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर होती हैं परस्पर बराबर होती हैं। (यूक्लिड अभिगृहीत-1)
प्रश्न 2.
निम्नलिखित पदों में से प्रत्येक की परिभाषा दीजिए। क्या इनके लिए कुछ ऐसे पद हैं, जिन्हें परिभाषित करने की आवश्यकता है ? वे क्या हैं ? और आप इन्हें कैसे परिभाषित कर पाएंगे ?
(i) समान्तर रेखाएँ,
(ii) लम्ब रेखाएँ,
(iii) रेखाखण्ड,
(iv) वृत्त की त्रिज्या,
(v) वर्ग।
उत्तर:
(i) समान्तर रेखाएँ: “वे दो सीधी रेखाएँ जिन्हें अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर एक दूसरे से कभी भी नहीं मिलें, समान्तर रेखाएँ कहलाती हैं।” यहाँ AB || CD (चित्र 5.2)।
चित्र 5.2. समान्तर रेखाएँ
(ii) लम्ब रेखाएँ: “वे दो सीधी रेखाएँ जिनके मध्य का कोण माना 90° अर्थात् एक समकोण हो, परस्पर लम्ब रेखाएँ कहलाती है।” यहाँ AB ⊥ CD या CD ⊥ AB (चित्र 5.3)।
चित्र 5.3 लम्ब रेखाएँ
(iii) रेखाखण्ड: “किसी सीधी रेखा के किन्हीं दो बिन्दुओं के मध्य दूरी रेखाखण्ड कहलाती है।” यह \(\overline { CD }\) रेखा \(\stackrel{\leftrightarrow}{A B}\) का रेखाखण्ड है (चित्र 5.4)।
चित्र 5.4. रेखाखण्ड
(iv) वृत्त की त्रिज्या: “किसी वृत्त के केन्द्र से उसकी परिधि के किसी बिन्दु की दूरी उस वृत्त की त्रिज्या कहलाती है।” यहाँ OP वृत्त की त्रिज्या है (चित्र 5.5)।
चित्र 5.5. वृत्त की त्रिज्या
(v) वर्ग : वह चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ बराबर हों तथा प्रत्येक कोण एक समकोण (90°) हो, वर्ग कहलाता है। यहाँ ABCD वर्ग है (चित्र 5.6)।
(चित्र 5.6) वर्ग
प्रश्न 3.
नीचे दी गई अभिधारणाओं पर विचार कीजिए:
(i) दो भिन्न बिन्दु A और B दिए रहने पर एक तीसरा बिन्दु C ऐसा विद्यमान है जो A और B के बीच स्थित होता है।
(ii) यहाँ कम-से-कम ऐसे तीन बिन्दु विद्यमान हैं कि वे एक सीधी रेखा पर स्थित नहीं हैं। क्या इन अभिधारणाओं में कोई अपरिभाषित शब्द हैं ? क्या वे अभिधारणाएँ अविरोधी हैं ? क्या ये यूक्लिड की अभिधारणाओं से प्राप्त होती हैं? स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
ऐसे अनेक अपरिभाषित शब्द हैं जिनकी जानकारी छात्र को होनी चाहिए। ये संगत होते हैं, क्योंकि इनमें दो अलग-अलग A स्थितियों का अध्ययन किया जाता है।
(i) यदि दो बिन्दु A और B दिए हैं तो उनके बीच स्थित बिन्दु C होता है। यदि AC + CB = AB.
(ii) यदि दो बिन्दु A और B दिए हैं जो एक सीधी रेखा पर हैं तथा बिन्दु C ऐसा है जो AB के मध्य स्थित नहीं है यदि AC + CB > AB.
ये अभिगृहीत यूक्लिड की अभिगृहीतों का अनुसरण A नहीं करते फिर भी ये यूक्लिड की अभिधारणा 5.1 का चित्र 5.8 अनुसरण करते हैं।
प्रश्न 4.
यदि दो बिन्दुओं A और B के बीच एक बिन्दु C ऐसा स्थित है कि AC = BC है तो सिद्ध कीजिए AC = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AB। एक चित्र खींचकर इसे स्पष्ट कीजिए।
हल:
दिया है: AC = BC
सिद्ध करना है : AC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB.
उपपत्ति :
∵ AC = BC (दिया है)
⇒ AC + AC = BC + AC (यूक्लिड अभिगृहीत – 2)
⇒ 2AC = AB [∵ BC + AC = AC + CB = AB सम्पाती है]
⇒ AC = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AB. इति सिद्धम्
प्रश्न 5.
प्रश्न 4 में C रेखाखण्ड AB का एक मध्य-बिन्दु कहलाता है। सिद्ध कीजिए कि एक रेखाखण्ड का एक और केवल एक ही मध्य-बिन्दु होता है।
हल:
माना रेखाखण्ड AB के दो मध्य-बिन्दु C एवं D हैं।
∵ रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु C है
⇒ AC = CB = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AB ….(1)
∵ रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु D भी है
⇒ AD = DB = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AB
⇒ AC = AD [समीकरण (1) एवं (2) से]
इस प्रकार रेखाखण्ड AC रेखाखण्ड AD पर सम्पाती होगा।
चूँकि AC का बिन्दु A, AD के बिन्दु A पर सम्पाती होगा।
इसलिए बिन्दु C बिन्दु D पर सम्पाती होगा।
इस प्रकार बिन्दु C एवं बिन्दु D दो अलग बिन्दु नहीं अपितु एक ही बिन्दु हैं।
अतः एक रेखाखण्ड का एक और केवल एक ही मध्य-बिन्दु होता है। इति सिद्धम्
प्रश्न 6.
संलग्न चित्र में AC = BD है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD.
हल:
दिया है: AC = BD
सिद्ध करना है: AB = CD
उपपत्ति : AC = BD (दिया है)
⇒ AB + BC = BC + CD [:: AC = AB + BC एवं BD = BC+CD]
⇒ AB + BC – BC = BC + CD – BC [यूक्लिड अभिग्रहीत 3 से]
अतः AB = CD. [अर्थात् बराबरों में से बराबर घटाया जाए तो शेषफल भी बराबर होता है] इति सिद्धम्
प्रश्न 7.
यूक्लिड की अभिगृहीतों की सूची में दिया हुआ अभिगृहीत-5 एक सर्वव्यापी सत्य क्यों माना जाता है? (ध्यान दीजिए कि यह प्रश्न पाँचवीं अभिधारणा से सम्बन्धित नहीं हैं।)
उत्तर:
क्योंकि विश्व के किसी भी भाग में किसी भी वस्तु के लिए यह सत्य है, इसलिए अभिगृहीत-5 को सार्वभौमिक (सर्वव्यापी) सत्य माना जाता है।