MP Board Class 12th Maths Solutions Chapter 3 आव्यूह विविध प्रश्नावली

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MP Board Class 12th Maths Solutions Chapter 3 आव्यूह विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि A = \(\left[\begin{array}{ll}{0} & {1} \\ {0} & {0}\end{array}\right]\) हो तो दिखाइए कि सभी nEN के लिए (aI + bA)ⁿ = aⁿI + na^n-1 bA, जहाँ I कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है।
हल:

प्रश्न 2.
यदि A = \(\left[\begin{array}{lll}{1} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {1}\end{array}\right]\), तो सिद्ध कीजिए कि

हल:



∴ P(n) सत्य है n = k +1 के लिए,
इसलिए गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार p(n), n के सभी n ϵ N मान के लिए सत्य है जब n ϵ N.

प्रश्न 3.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}{3} & {-4} \\ {1} & {-1}\end{array}\right]\), तो सिद्ध कीजिए कि Aⁿ = \(\left[\begin{array}{cc}{1+2 n} & {-4 n} \\ {n} & {1-2 n}\end{array}\right]\) जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
हल:


∴ P(n) सत्य है n = k + 1 के लिए
इसलिए गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ϵ N के सभी मानों के लिए सत्य है। n ϵ N.

प्रश्न 4.
यदि A तथा B सममित आव्यूह हैं तो सिद्ध कीजिए कि AB – BA एक विषम सममित आव्यूह है।
हल:
यदि A और B सममित आव्यूह हैं।
∴ A’ = A और B’ = B
(AB – BA) = (AB)’ – (BA)’ [∵ (X – Y) = X’ – Y’]
= B’A’ – A’B’ [∵ (XY) =Y’X’]
= BA – AB [∵ B’ = B, A’ = A]
= – (AB – BA)
∴ AB – BA एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि आव्यूह B’ AB सममित अथवा विषम सममित है, यदि A सममित अथवा विषम सममित है।
हल:
(i) माना A सममित आव्यूह है।
तब A’ = A
∴ (B’ AB) = (B’ (AB)) =(AB)'(B’)’
= (B’A’)B
=B’ AB [∵ (AB)’ = B’A’ और A’ = A]
⇒ B’ AB एक सममित आव्यूह है।

(ii) माना A विषम सममित आव्यूह है।
∴ A’ = -A
अब, (B'(AB))’ = (AB)’ (B’)’ = (B’A’)B
= B'(-A)B = – B’ AB [∵ A’ = -A]
=-(B’ AB)
अत: B’ AB एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 6.
x, y तथा z के मानों को ज्ञात कीजिए, यदि आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ccc}{0} & {2 y} & {z} \\ {x} & {y} & {-z} \\ {y} & {-y} & {z}\end{array}\right]\) समीकरण A’ A = I को सन्तुष्ट करता है।
हल:

प्रश्न 7.
x के किस मान के लिए

हल:

प्रश्न 8.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}{3} & {1} \\ {-1} & {2}\end{array}\right]\) हो तो सिद्ध कीजिए कि A² – 5A + 7I = 0 है।
हल:

प्रश्न 9.
यदि [x -5 -1]\(\left[\begin{array}{lll}{1} & {0} & {2} \\ {0} & {2} & {1} \\ {2} & {0} & {3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x} \\ {4} \\ {1}\end{array}\right]\) = 0 है तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
एक निर्माता तीन प्रकार की वस्तुएँ, x, y तथा z का उत्पादन करता है जिनका वह दो बाजारों में विक्रय करता है। वस्तुओं की वार्षिक बिक्री नीचे सूचित (निदर्शित) है-

(a) यदि x, y तथा z की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमश: Rs. 2.50, Rs. 1.50 तथा Rs. 1.00 है तो प्रत्येक बाजार में कुल आय (Revenue), आव्यूह बीजगणित की सहायता से ज्ञात कीजिए।
(b) यदि उपर्युक्त तीन वस्तुओं की प्रत्येक इकाई की लागत (Cost) क्रमश: Rs. 2.00, Rs. 1.00 तथा पैसे 50 है तो कुल लाभ (Gross Profit) ज्ञात कीजिए।
हल:
(a) वार्षिक बिक्री निम्नलिखित है-

अतः प्रत्येक बाजार से आय रु० 46,000 तथा 53,000 रु० है|

(b) प्रत्येक उत्पाद x, y, z की प्रत्येक इकाई का क्रय मूल्य क्रमशः 2.00,1: 00 तथा 0:50 रु० है।
आव्यूह रूप में लिखने पर,

पहले बाजार का लाभ = विक्रय मूल्य – क्रय मूल्य
46000 – 31000 = 15000 रु०
दूसरे बाजार का लाभ = 53000 – 36000 = 17000 रु०

प्रश्न 11.
आव्यूह X ज्ञात कीजिए, यदि

हल:

प्रश्न 12.
यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि AB = BA है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि ABⁿ = BⁿA होगा। इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त n ϵ N के लिए (AB)ⁿ = AⁿBⁿ होगा।
हल:
माना P(n): ABⁿ = BⁿA, जबकि AB = BA
किन्तु n = 1, AB = BA (दिया है)
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना P(n) सत्य है, n = k के लिए,
∴ AB^k = B^k A सत्य है।
दोनों ओर B से गुणा करने पर,
L.H.S. = AB^k . B = A (B^k B) = AB^k+1
R.H.S. = (B^k A)B = B^k (AB)
= B^k (BA)
= (B^k B) A = B^k+1A [∵ AB = BA दिया है]
∴ AB^k+1 = B^k+1A
⇒ P(n) सत्य है, n = k + 1 के लिए
इसलिए गणितीय · आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ϵ N के सभी मानों के लिए सत्य है, जबकि n ϵ N
माना P(n): (AB)ⁿ = AⁿBⁿ
n = 1 रखने पर,
L.H.S. = (AB)’ = AB
R.H.S. = A’B’ = AB
P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना P(n) सत्य है, n = k के लिए.
(AB)^k = A B^k
दोनों पक्षों को AB से गुणा करने पर,
L.H.S. = (AB)^k AB = (AB)^k+1
R.H.S. = A^k B^k . (AB)
= A^k B^k (BA) [∵ AB = BA दिया है।]
= A^k (B^k B)A
= A^k (B^k+1A) [∵ AB^k = B^kA]
= (A^k A)B^k+1 = A^k+1. B^k+1
अतः (AB)^k+1 = A^k+1. B^k+1
∴ P(n) सत्य है, n = k + 1 के लिए, . .
गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ϵ N के सभी मानों के लिए सत्य है जबकि n ϵ N.

निम्नलिखित प्रश्नों में सही उत्तर चुनिए-
प्रश्न 13.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}{\alpha} & {\beta} \\ {\gamma} & {-\alpha}\end{array}\right]\) इस प्रकार है कि A² = I, तो:
(A) 1 + α² + βγ = 0
(B) 1 – α² + βγ = 0
(C) 1 – α² – βγ = 0
(D) 1 + α² + βγ = 0
हल:

α² + βγ = 1 या 1 – α² – βγ = 0
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 14.
यदि एक आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों ही है तो:
(A) A एक विकर्ण आव्यूह है।
(B) A एक शून्य आव्यूह है।
(C) A एक वर्ग आव्यूह है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल:
सममित आव्यूह में, a_ij = a_ji …(1)
विषम सममित आव्यूह में, a_ij = -a_ji …(2)
सममित और विषम सममित आव्यूह में दोनों गुण होने चाहिए (1) और (2) को जोड़ने पर,
यदि 2a_ij = a_ij – a_ji = 0
⇒ a_ij = 0
a_ij = a_ji 0
∴ वर्ग आव्यूह एक शून्य आव्यूह (zero matrix) होगा।
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 15.
यदि A एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि A = A तो (I + A)³ – 7A बराबर है-
(A) A
(B) I – A
(C) I
(D) 3A
हल:
दिया है : A² = A
∵ A³ = A². A
= A.A = A² = A
∴ (I + A)³ – 7A = I³ +3i² A + 3IA² + A³ – 7A
= I³ + 3IA + 3IA² + A³ – 7A
= I + 3A + 3A² + A³ – 7A
= I + 3A + 3A + A² . A – 7A
= I + 3A + 3A + A – 7A
= 7A – 7A + I
अतः विकल्प (C) सही है।