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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन Ex 2.1
निम्नलिखित के मुख्य मानों को ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.
sin-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
हल :
माना y = in-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
प्रश्न 2.
cos-1\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
हल :
माना y = cos-1\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
⇒ cos y = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
⇒ cos y = cos\(\frac{\pi}{6}\)
∵ cos-1 की मुख्य शाखा का परिसर [0, π] होता है तथा cos \(\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ cos\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) का मुख्य मान \(\frac{\pi}{6}\) है।
प्रश्न 3.
cosec-1(2)
हल :
माना y = cosec-1 (2)
⇒ cosec y = 2
cosec y = cosec \(\frac{\pi}{6}\)
⇒ cosec-1(cosec y) = \(\frac{\pi}{6}\)
y =\(\frac{\pi}{6}\)
अतः cosec-1 (2) का मुख्य मान = \(\frac{\pi}{6}\)
प्रश्न 4.
tan-1 (-\( \sqrt{{3}} \))
हल :
माना y = tan-1(-\( \sqrt{{3}} \))
⇒ tan y = –\( \sqrt{{3}} \)
tan y = tan\(\left(-\frac{\pi}{3}\right)\)
∵ tan-1 की मुख्य शाखा का परिसर \(\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) और tan\(\tan \left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}\)
अत: tan-1(-\( \sqrt{{3}} \))का मुख्य मान = \(\frac{-\pi}{3}\)
प्रश्न 5.
cos-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
हल :
माना y = cos-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
प्रश्न 6.
tan-1(-1)
हल :
माना y = tan-1(1)
⇒ tan y = -1
tany = tan\(\left(-\frac{\pi}{4}\right)\)
अत: tan-1(-1) का मुख्य मान = \(-\frac{\pi}{4}\)
प्रश्न 7.
sec-1\(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
हल :
माना y = sec-1\(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
प्रश्न 8.
cot-1\(\sqrt{3}\)
हल :
माना y = cot-1\(\sqrt{3}\)
= cot y = (\(\sqrt{3}\)) = cot \(\frac{\pi}{6}\)
फलन cot-1x का मुख्य मान शाखा का परिसर = (0, π) है। अतः cot-1 (\(\sqrt{3}\)) = \(\frac{\pi}{6}\) है।
प्रश्न 9.
cos-1\(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
हल :
माना y = cos-1\(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
प्रश्न 10.
cosec-1\(-\sqrt{2}\)
हल :
माना y = cosec-1\(-\sqrt{2}\)
⇒ cosec y = –\(\sqrt{2}\) = -cosee \(\frac{\pi}{4}\) = cosee \(\left(-\frac{\pi}{4}\right)\)
फलन cosec-1x का मुख्य मान शाखा का परिसर = \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) – [0]
अतः cosec-1(-\( \sqrt{{2}} \)) = –\(-\frac{\pi}{4}\) है।
प्रश्न 11.
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए
tan-1(1) + cos-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\) + sin-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
हल :
प्रश्न 12.
cos-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + 2sin-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\)
हल :
प्रश्न 13.
यदि sin-1 x = y तो
हल :
प्रश्न 14.
tan-1\( \sqrt{{3}} \)– sec-1(-2) का मान बराबर है-
(A) π
(B) \(-\frac{\pi}{3}\)
(C) \(\frac{\pi}{3}\)
(D) \(\frac{2 \pi}{3}\)
हल:
माना y = tan-1\( \sqrt{{3}} \)– sec-1(-2)
अतः विकल्प (B) सही है।