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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.1
प्रश्न 1.
∆ABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin A, cos A,
(ii) sin C, cos C
हल :
∵ समकोण ∆ABC में,
∠B = समकोण AC² = AB² + BC²
= (24)² + (7)²
= 576 + 49
= 625
AC = √625 = 25
(i) अब \(\sin A=\frac{B C}{A C}=\frac{7}{25}\) एवं \(\cos A=\frac{A B}{A C}=\frac{24}{25}\)
अतः sin A एवं cos 4 के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 7 }{ 25 }\) एवं \(\frac { 24 }{ 25 }\) हैं।
(ii) \(\sin C=\frac{A B}{A C}=\frac{24}{25}\) एवं \(\cos C=\frac{B C}{A C}=\frac{7}{25}\)
अत: sin C एवं cos C के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 24 }{ 25 }\) एवं \(\frac { 7 }{ 25 }\) हैं।
प्रश्न 2.
संलग्न आकृति 8.3 में tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ ∆PQR में ∠Q समकोण है,
QR² = PR² – PQ²
= (13)² – (12)²
= 169 – 144
= 25
QR = √25 = 5
अब
अत: tan P – cot R का अभीष्ट मान 0 (शून्य) है।
प्रश्न 3.
यदि sin A = \(\frac { 3 }{ 4 }\), तो cos A और tan A का परिकलन कीजिए। (2019)
हल :
मान लीजिए ∆ABC एक समकोण ∆ है जिसमें ∠B समकोण है।
चूँकि sin A = \(\frac { 3 }{ 4 }\) (दिया है)
अतः cos A एवं tan A के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac{\sqrt{7}}{4}\) एवं \(\frac{3}{\sqrt{7}}\) है।
प्रश्न 4.
15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए ABC एक समकोण ∆ है जिसमें ∠B समकोण है।
चूँकि 15 cot A = 8
अतः sin A एवं sec A के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 15 }{ 17 }\) एवं \(\frac { 17 }{ 8 }\) है।
प्रश्न 5.
यदि \(\sec \theta=\frac{13}{12}\) हो, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
हल :
मान लीजिए ∆ABC त्रिभुज का ∠B = समकोण है तथा ∠C = θ है
अतः अभीष्ट त्रिकोणमितीय (अन्य) अनुपात होंगे :
प्रश्न 6.
यदि ∠A और ∠B न्यूनकोण हों, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए ∠A = ∠B.
हल :
ACB एक समकोण त्रिभुज है, जहाँ ∠A और ∠B न्यूनकोण हैं।
cos A = cos B (दिया है)
[बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं] इति सिद्धम्
प्रश्न 7.
\(\cot \theta=\frac{7}{8}\) तो
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
(ii) cot² θ के मान निकालिए।
हल :
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
अत: अभीष्ट मान = \(\frac { 49 }{ 64 }\) है।
(ii) cot² θ = (cot θ)² = (7/8)²
= 49/64
अतः अभीष्ट मान = \(\frac { 49 }{ 64 }\) है।
प्रश्न 8.
यदि 3 cot A = 4, तो जाँच कीजिए कि \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A\) है या नहीं।
हल :
मान लीजिए ∆ABC में, ∠B पर समकोण है।
चूँकि 3 cot A = 4 (दिया है)
चूँकि सिद्ध करना है कि \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A\) है या नहीं
L.H.S. = R.H.S.
अतः \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A\) है।
प्रश्न 9.
∆ABC में जिसका कोण B समकोण है, यदि \(\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}\) तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C – sin A sin C
हल :
∆ABC का ∠B समकोण दिया है (देखिए आकृति 8.9) और \(\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
अतः अभीष्ट मान = 1 है।
अतः अभीष्ट मान = 0 है।
प्रश्न 10.
∆POR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + OR = 25 cm और PQ = 5 cm है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∆POR का ∠Q समकोण दिया है और
PR + QR = 25 cm …(1)
तथा PQ = 5 cm …(2)
दिये हैं। PR² – QR² = PQ²
(PR + QR) (PR – QR) = PQ²
25 (PR – QR) = (5)² = 25
PR – QR = \(\frac { 25 }{ 25 }\) = 1 …(3)
2PR = 26 [समीकरण (1) + (3) से]
PR = \(\frac { 26 }{ 2 }\) = 13
PR = 13 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
13 + QR = 25
QR = 25 – 13 = 12
अतः अभीष्ट मान sin P = \(\frac { 12 }{ 13 }\), cos P = \(\frac { 5 }{ 13 }\) एवं tan P = \(\frac { 12 }{ 5 }\) है।
प्रश्न 11.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = \(\frac { 12 }{ 5 }\)
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण θ के लिए sin θ = \(\frac { 4 }{ 3 }\).
हल :
(i) कथन असत्य है, क्योंकि tan A का मान θ से अनन्त तक हो सकता है।
(ii) कथन सत्य है, क्योंकि sec A का मान सदैव 1 से अधिक होता है।
(iii) कथन असत्य है, क्योंकि cos A, कोण A के cosine का संक्षिप्त रूप होता है।
(iv) कथन असत्य है, क्योंकि cot A, cot एवं A का गुणनफल नहीं बल्कि cot A, कोण A का एक त्रिकोणमितीय अनुपात होता है।
(v) कथन असत्य है, क्योंकि sin θ का मान कभी भी 1 से अधिक नहीं होता।