MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.4

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.4

प्रश्न 1.
द्विपदों को गुणा कीजिए –

1. (2x + 5) और (4x – 3)
2. (y – 8) और (3y – 4)
3. (2.5l – 0.5m) और (2.51+ 0.5m)
4. (a + 3b) और (x + 5)
5. (2pq + 3q²) और (3pq – 2q²)
6. (\(\frac{3}{4}\)a² +3b²) और 4 (a² – \(\frac{2}{3}\)2b²)

हल:
1. (2x + 5) x (4x – 3)
= (2x × 4x – 3) + 5 (4x – 3)
= 2x × 4x – 2x × 3 + 5 × 4x – 5 x 3
= 8x² – 6x + 20x – 15
= 8x + 14x – 15 (समान पदों को जोड़ने पर)

2. (y – 8) x (3y – 4) = y × (3y – 4) – 8 (3y – 4)
= y × 3y – y × 4 – 8 × 3y + 8 × 4
= 3y² – 4y – 24y + 32
= 3y² – 28y + 32

3. (2.51 – 0.5m) x (2.51 + 0.5m)
= 2.51 (2.51 + 0.5m) – 0.5m (2.51 + 0.5m)
= 6.25l² + 1.25lm – 1.25lm – 0.25m²
= 6.25l² – 0.25m²

4. (a + 3b) x (x + 5) = a x (x + 5) + 3b (x + 5)
= ax + 5a + 3bx + 3b x 5
= ax + 5a + 3bx + 15b

5. (2pq + 3q²) (3pq – 2q²)
= 2pq x (3pq – 2q²) + 3q²(3pq – 2q²)
= 2pq x 3pq – 2pq x 2q² + 3q² x 3pq – 3q² x 2q2
= 6p²q² – 4pq² + 9pq³ – 6q⁴
= 6p²q² + 5pq³ – 6q⁴

6. (\(\frac{3}{4}\)a² + 3b²) = 4 (a² – \(\frac{2}{3}\)b²)
= (\(\frac{3}{4}\)a² + 3b²) + (4a² – \(\frac{8}{3}\)b²)
= \(\frac{3}{4}\)a²(4a² – \(\frac{8}{3}\) b²) + 3b³ (4a² – \(\frac{8}{3}\)b²)
= 3a⁴ – 2a²b² + 12a²b² – 8b⁴
= 3a⁴ – 10a²b² – 8b⁴

प्रश्न 2.
गुणनफल ज्ञात कीजिए –

1. (5 – 2x) (3 + x)
2. (x + 7y) (7x – y)
3. (a² + b) (a + b²)
4. (p² – q²) (2p + q)

हल:
1. (5 – 2x) x (3 + x) = 5 x (3 + x) – 2x × (3 + x)
= 15 + 5x – 6x – 2x²
= 15 – x – 2x²

2. (x + 7y) x (7x – y) = x × (7x – y) + 7y x (7x – y)
= 7x² – xy + 49xy – 7y²
= 7x² + 48xy – 7y²

3. (a² + b) x (a + b²) = a² x (a + b²) + b x (a + b²)
= a + a²b² + ab + b²
= a³ + a²b² + ab + b³

4. (p² – q²) x (2p + q) = p² x (2p + q) – q² x (2p +9)
=2p³ + p²q – 2pq² – q³
= 3p³ + p²q – 2pq² – q³

प्रश्न 3.
सरल कीजिए –

1. (x² – 5) (x + 5) + 25
2. (a² + 5) (b³ + 3) + 5
3. (t + s²)(t² – s)
4. (a + b)(c – d) + (a – b) (c + d) + 2(ac + ba)
5. (x + y (2y + y) + (x + 2y) (x – y)
6. (x + y) (x² – xy + y)
7. (1.5x – 4y) (1.5x + 4y + 3) – 4.5x + 12y
8. (a + b + c) (a + b – c)

हल:
1. (x² – 5) (x + 5) + 25
=x² × (x + 5) – 5 x (x + 5) + 25
=x³ × 5x² – 5x – 25 + 25
= x³ + 5x² – 5x

2. (a² + 5) × (b³ + 3) + 5
= a² x (b³ + 3) + 5 x (b³ + 3) + 5
= a²b³ + 3a² + 5b³ + 15 + 5
= a²b³ + 3a² + 5b³ + 20

3. (t + s²) (t² – s) = t × (t² – s) + s² + (t² – s)
= t³ – ts + s²t² – s³

4. (a + b)(c – d) + (a – b)(c + d) + 2(ac + bd)
= a (c – d) + b(c – d) + a(c – d) – b(c + d) + 2ac + 2bd
= ac – ad + bc – bd + ac + ad – bc – bd + 2ac + 2bd
= (1 + 1 + 2)ac + (- 1 + 1) ad + (1 – 1)bc (- 1 – 1 + 2)bd
= (4ac + (0) ad + (0) bc + (0) bd
= 4ac

5. (x + y) (2x + y) + (x + 2y) (x – y)
= x(2x + y) + y x (2x + y) + x × (x – y) + 2y (x – y)
= 2x² + xy + 2xy + y² + x² – xy + 2xy – 2y²
= 2x² + x² + xy + 2xy – xy + 2xy + y² – 2y²
= 3x² + 4xy – y²

6. (x + y) (x² – xy + y²)
= x × (x² – xy + y²) + y x (x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³
= x³ – x²y + x²y + xy² – xy² + y³
= x³ + y³

7. (1.5x – 4y) (1.5x + 4y + 3) – 4.5x + 12y
= 1.5x (1.5x + 4y + 3) – 4y(1.5x + 4y + 3) – 4.5x + 12y
= 2.25x² + 6.0xy + 4.5x – 6.0xy – 16y² – 12y – 4.5x + 12y
= 2.25x² + 6.0xy – 6.0xy + 4.5x – 4.5x – 12y + 12y – 16y²
= 2.25x² – 16y²

8. (a + b + c)(a + b – c) = a (a + b – c) + b(a + b – c) + c(a + b – c)
= a² + ab – ac + ab + b² – bc + ac + bc – c²
= a² + b² – c² + ab + ab – ac + ac – bc + bc
= a² + b² – c² + 2ab

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 158

प्रयास कीजिए (क्रमांक 9.8)

प्रश्न 1.
सर्वसमिका (I) में b के स्थान पर – b रखिए। क्या आपको सर्वसमिका (II) प्राप्त होती है?
हल:
सर्वसमिका (I) से, हम प्राप्त करते हैं
(a + b)² = a² + 2ab + b²
b के स्थान पर – b रखने पर,
{a + (-b)}² = a² + 2a(- b) + (- b)²
(a – b)² = a – 2ab + b² (सर्वसमिका II)
हाँ, सर्वसमिका (I) में b के स्थान पर – b रखने पर हमें सर्वसमिका II प्राप्त होती है।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 9.9)

प्रश्न 1.
a = 2, b = 3,x = 5 के लिए सर्वसमिका (IV) का सत्यापन कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि सर्वसमिका
(x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab
a = 2
b = 3 तथा
x = 5 रखने पर,
L.H.S. = (x + a) (x + b)
= (5 + 2) (5 + 3)
= 7 x 8 = 56
R.H.S. = x² + (a + b)x + ab
= (5)² + (2 + 3)5 + 2 x 3
= 25 + 25 + 6 = 56
∴ L.H.S. = R.H.S.
अत: a = 2, b = 3 और x = 5 के लिए सर्वसमिका (IV) का सत्यापन होता है।

प्रश्न 2.
सर्वसमिका (IV) में a = b लेने पर आप क्या प्राप्त करते हैं? क्या यह सर्वसमिका (I) से सम्बन्धित है?
हल:
हम जानते हैं कि सर्वसमिका (IV)
(x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab
इसमें a = b रखने पर, हम प्राप्त करते हैं –
(x + b) (x + b) = x² + (b + b)x + b x b
= x² + 2bx + b²
अथवा
x + 2ax + a
हाँ, यह सर्वसमिका (I) से सम्बन्धित है।

प्रश्न 3.
सर्वसमिका (IV) में a = – c तथा b = – c लेने पर, आप क्या प्राप्त करते हैं। क्या यह सर्वसमिका (II) से सम्बन्धित है?
हल:
सर्वसमिका (IV) से, x = – c रखने पर हम प्राप्त करते हैं –
[x + (- c)] [x + (- c)] = x² + (- c – c) x + (- c) (- c)
या (x – c) (x – c) = x² – 2cx + c²
(x – c)² = x² – 2cx + c²
हाँ, यह सर्वसमिका (II) से सम्बन्धित है।

प्रश्न 4.
सर्वसमिका (IV) में b = – a लीजिए। आप क्या पाते हैं? क्या यह सर्वसमिका (III) से सम्बन्धित है?
हल:
सर्वसमिका (IV) में b = – a लेने पर, हम पाते हैं –
(x + a) {x + (- a)} = x² + (a – a)x + (a)(- a)
या (x + a) (x – a) = x² – a²
हाँ, यह सर्वसमिका (II) से सम्बन्धित है।

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