MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.3
प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए :
हल:
प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए :
हल:
प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए :
हल:
प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए :
हल:
प्रश्न 5.
मान ज्ञात कीजिए :
(i) sin (75°)
हल:
sin (75°) = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° [∵ sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B]
(ii) tan 15°
हल:
tan 15° = tan (45° – 30°)
प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए
हल:
प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए:
हल:
प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए :
हल:
प्रश्न 9
सिद्ध कीजिए:
हल:
प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए : sin (n + 1)x sin (n + 2)x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x = cosx.
हल:
बायाँ पक्ष = sin (n + 1)x sin (n + 2) x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x
मान लीजिए (n + 2)x = A, (n + 1) x = B
= sin B sin A + cos B cos A
= cos A cos B + sin A sin B
= cos (A – B) = cos [(n + 2) x – (n + 1)x] [∵ A और B के मान रख कर]
= cos (nx + 2x – nx –x)
= cos x = दायाँ पक्ष।
प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए : cos \(\left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)\) – cos\(\left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)\) = \(-\sqrt{2}\)sinx
हल:
बायाँ पक्ष = cos \(\left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)\) – cos\(\left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)\)
प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए : sin26x – sin24x = sin 2x sin 10x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin2 6x – sin24x .
= sin (6x + 4x) sin (6x – 4x)
सूत्र sin2 A – sin2 B = sin (A + B) sin (A – B) का प्रयोग करें]
= sin 10x sin 2x
= sin 2x sin 10x = दायाँ पक्ष।
प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए : cos2 2x – cos2 6x = sin 4x sin 8x.
हल:
बायाँ पक्ष = cos2 2x – cos2 6x
= 1 – sin2 2x – (1 – sin2 6x)
= sin2 6x – sin2 2x
sin2 A – sin2 B = sin (A + B) sin (A – B) का प्रयोग करते हुए
= sin26x – sin2 2x
= sin (6x + 2x) sin (6x – 2x)
= sin 8x sin 4x
= sin 4x sin 8x = दायाँ पक्ष।
प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए : sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x = 4 cos2 x sin 4x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x
= (sin 2x + sin 6x) + 2 sin 4x
= 2 sin 4x cos 2x + 2 sin 4x
= 2 sin 4x (cos 2x + 1)
= 2 sin 4x (2 cos2 x – 1 + 1)
= 4 sin 4x cos2 x = 4 cos2 x sin 4x = दायाँ पक्ष।
प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए : cot 4x (sin 5x + sin 3x) = cot x (sin 5x – sin 3x).
हल:
बायाँ पक्ष = cot 4x (sin 5x + sin 3x)
अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए :
हल:
प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए :
हल:
प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए :
हल:
प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए :
हल:
प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए :
हल:
प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए :
हल:
प्रश्न 22.
सिद्ध कीजिए : cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot 3x cot x = 1.
हल:
3x = x + 2x
∴ cot 3x = cot (x + 2x) = \(\frac{\cot x \cot 2 x-1}{\cot x+\cot 2 x}\)
दोनों पक्षों में cot x + cot 2x से गुणा करने पर
cot 3x (cot x + cot 2x) = \(\frac{\cot x \cot 2 x-1}{\cot x+\cot 2 x}\) (cot x + cot2x)
या cot 3x (cot x + cot 2x) = cot x cot 2x – 1
या cot 3x cot x + cot 3x cot 2x = cot x cot 2x – 1
या cot 3x cot x + cot 3x cot 2x – cotx cot 2x = -1
या – cot 3x cot x – cot 3x cot 2x + cot x cot 2x = 1
या cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot 3x cot x = 1.
प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए :
हल:
प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए : cos 4x = 1 – 8 sin2 x cos2x.
हल:
बायाँ पक्ष = cos 4x = cos 2.(2x) (∵ cos 2A = 2 cos2A – 1)
= 2 cos2 2x – 1
= 2[2 cos2 x – 1]2 – 1
= 2 [4cos4 x – 4 cos2x + 1] – 1
= 8 cos4x – 8 cos2x + 1
= 1 + 8 cos4 x – 8 cos2x
= 1 + 8 cos2 x (cos2 x – 1)
= 1 – 8 cos2x sin2x [∵ 1 – cos2 x = sin2 x]
= दायाँ पक्ष।
प्रश्न 25.
सिद्ध कीजिए : cos 6x = 32 cos6x – 48 cos4x + 18 cos2x – 1.
हल:
बायाँ पक्ष = cos 6x = cos 3(2x) 2x = A मान लिया
= cos 3A = cos (2A + A)
= cos 2A cos A – sin 2A sin A
= (2 cos2 A – 1) cos A – 2 sin A cos A sin A [∵ cos 2A = 2 cos2A – 1, sin 2A = 2 sin A cos A]
= 2 cos3 A – cos A – 2 cos A (1 – cos2 A) [∵sin2 A = 1 – cos2A]
= 2 cos3 A – cos A – 2 cos A + 2 cos3 A
= 4 cos3 A – 3 cos A
= 4 cos3 2x – 3 cos 2x [A का मान रखने पर]
= 4 (2 cos2 x – 1)3 – 3 (2 cos2x – 1) (∵ cos 2x = 2 cos2x – 1)
= 4[8 cos6 x – 12 cos4 x + 6 cos2x – 1)] – (6 cos2x – 3)
= 32 cos6 x – 48 cos4x + 18 cos2 x – 1
= दायाँ पक्ष।