MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 11 क्षेत्रमिति Ex 11.4
प्रश्न 1.
आपको एक बेलनाकार टैंक दिया हुआ है। निम्नलिखित में से किस स्थिति में आप उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे और किस स्थिति में आयत –
(a) यह ज्ञात करने के लिए कि इसमें कितना पानी रखा जा सकता है।
(b) इसका प्लास्टर करने के लिए वांछित सीमेंट बोरियों की संख्या।
(c) इसमें भरे पानी से भरे जाने वाले छोटे टैंकों की संख्या।
उत्तर:
(a) आयतन
(b) पृष्ठीय क्षेत्रफल
(c) आयतन।
प्रश्न 2.
बेलन A का व्यास 7 cm और ऊँचाई 14 cm है। बेलन B का व्यास 14 cm और ऊँचाई 7 cm है। परिकलन किए बिना क्या आप बता सकते हैं कि इन दोनों में किसका आयतन अधिक है? दोनों बेलनों का आयतन ज्ञात करते हुए इसका सत्यापन कीजिए। जाँच कीजिए कि क्या अधिक आयतन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक है।
हल:
बेलन B का आयतन अधिक है।
बेलन A के लिए, r = \(\frac{7}{2}\) सेमी तथा h = 14 सेमी
बेलन A का आयतन = πr2h
= \(\frac{22}{7}\) x \(\frac{7}{2}\) x \(\frac{7}{2}\) x 14 सेमी3
= 539 सेमी3
बेलन B के लिए, r = \(\frac{14}{2}\) सेमी = 7 सेमी तथा h= 7 सेमी
बलेन B का आयतन = πr2h
= \(\frac{22}{7}\) x 7 x 7 x 7 सेमी3
= 1078 सेमी3
बेलन A का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (r + h)
= 2 x \(\frac{22}{7}\) x \(\frac{7}{2}\) (\(\frac{7}{2}\) + 14) सेमी2
= 22 (\(\frac{7+28}{2}\)) सेमी2
= 11 x 35 सेमी2 = 385 सेमी2
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (r + h)
= 2 x \(\frac{22}{7}\) x 7 (7 + 7) सेमी2
= 44 (14) सेमी2
= 616 सेमी
हाँ, अधिक आयतन वाले बेलन B का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक है।
प्रश्न 3.
एक ऐसे घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसके आधार का क्षेत्रफल 180 cm2 और जिसका आयतन 900 cm3 है।
हल:
यहाँ, घनाभ का आयतन = 900 सेमी3 तथा आधार का क्षेत्रफल = 180 सेमी2
माना कि घनाभ की ऊँचाई = h सेमी है।
घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई
900 सेमी2 = 180 सेमी2 x h
h = \(\frac{900}{180}\) = 5 सेमी
अतः घनाभ की ऊँचाई = 5 सेमी
प्रश्न 4.
एक घनाभ की विमाएँ 60 cm x 54 cm x 30 cm हैं। इस घनाभ के अन्दर 6 cm भुजा वाले कितने छोटे घर रखे जा सकते हैं?
हल:
यहाँ, l = 60 सेमी
b = 54 सेमी तथा
h = 30 सेमी
घनाभ का आयतन = l x b x h
= 60 x 54 x 30 सेमी3
घन की भुजा = 6 सेमी
घन का आयतन = (भुजा)3 = (6)3 सेमी3
= 6 x 6 x 6 सेमी3
= 216 सेमी3
अतः घनाभ में 450 घन रखे जा सकते हैं।
प्रश्न 5.
एक ऐसे बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 1.54 m3 और जिसके आधार का व्यास 140 cm है।
हल:
यहाँ, बेलन का आयतन = 1.54 मीटर
त्रिज्या r = \(\frac{140}{2}\) सेमी = 70 सेमी
= \(\frac{70}{100}\) मीटर = 0.7 मी
माना कि ऊँचाई = h है।
अब, बेलन का आयतन = πr2h
1.54 = \(\frac{22}{7}\) x 0.7 × 0.7 x h
h = \(\frac{1.54×7}{22×0.7×0.7}\) मीटर
= 1 मीटर
अतः बेलन की ऊँचाई = 1 मीटर
प्रश्न 6.
एक दूध का टैंक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिज्या 1.5 m है और लम्बाई 7 m है। इस टैंक में भरे जा सकने वाले दूध की मात्रा लीटर में ज्ञात कीजिए।
हल:
टैंक की त्रिज्या = 1.5 m, टैंक की लम्बाई = 7 m
टैंक की धारिता = πr2h
= \(\frac{22}{7}\) x 1.5 x 1.5 x 7 मीटर3
= 49.5 मी3
= 49.5 x 1000 लीटर
(∵ 1 मी3 = 1000 लीटर)
= 49500 लीटर
अत: टैंक में भरे जाने वाली दूध की मात्रा = 49500 लीटर
प्रश्न 7.
किसी घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए तो –
- इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने गुना वृद्धि होगी?
- इसके आयतन में कितने गुना वृद्धि होगी?
हल:
माना कि घन की भुजा = x इकाई है, तब
इसका आयतन = x3 तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6x2
अब, जबकि घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए, तब
1. इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6(2x)2 = 6 x 4x2
= 24x2 = 4 x 6x2
अतः नये घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल में चार गुना वृद्धि होगी।
2. नये घन का आयतन = (2x)2
= 8x2 = 8 × x3
अतः इसके आयतन में आठ गुना वृद्धि होगी।
प्रश्न 8.
एक कुंड के अन्दर 60 लीटर प्रति मिनट की दर से पानी गिर रहा है। यदि कुंड का आयतन 108 m’ है, _ तो ज्ञात कीजिए कि इस कुंड को भरने में कितने घंटे लगेंगे?
हल:
यहाँ, कुंड का आयतन
= 108 m3
= 108 x 1000 लीटर
= 108000 लीटर
कुंड में पानी गिरने की दर = 60 लीटर प्रति मिनट
= 60 x 60 लीटर प्रति घण्टा
= 30 घण्टे
अतः कुंड को भरने में 30 घण्टे लगेंगे।