MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज विविध प्रश्नावली

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलनों का अवकलज ज्ञात कीजिए :
(i) – x.
हल:

(ii) (- x)^{– 1}.
हल:
मान लीजिए
f(x) = (- x)^{– 1} = – \(\frac{1}{x}\)
∴ f(x + h)= – \(\frac{1}{x+h}\)

(iii) sin (x + 1).
हल:
मान f(x) = sin (x + 1)
∴ f(x + h) = sin (x + h + 1)
या f(x + h) – f(x) = sin (x + h +1) – sin (x + 1)

(iv) cos\(\left(x-\frac{\pi}{8}\right)\)
हल:

निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, p, 4, r और s निश्चित शून्येत्तर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।)
प्रश्न 2.
(x + a).
हल:
\(\frac{d}{d x}\)(x + a) = \(\frac{d}{d x}\)(x) + \(\frac{d}{d x}\)(a) = 1 + 0 = 1.

प्रश्न 3.
(px + q) (\(\frac{r}{x}\) + s)
हल:
माना f(x) = (px + q) (\(\frac{r}{x}\) + s)

प्रश्न 4.
(ax + b) (cx + d)².
हल:
माना, f(x) = (ax + b)(cx + d)²

= a. (cx + a)² + (ax + b). 2c (cx + d)
= 2c(ax + b) (cx + d) + a(cx + d)².

प्रश्न 5.
\(\frac{a x+b}{c x+d}\)
हल:
माना f(x) = \(\frac{a x+b}{c x+d}\)

प्रश्न 6.
\(\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\).
हल:

प्रश्न 7.
\(\frac{1}{a x^{2}+b x+c}\).
हल:
माना f(x) = \(\frac{1}{a x^{2}+b x+c}\)

प्रश्न 8.
\(\frac{a x+b}{p x^{2}+q x+r}\).
हल:

प्रश्न 9.
\(\frac{\mu x^{2}+q x+r}{a x+b}\)
हल:

प्रश्न 10.
\(\frac{a}{x^{4}}-\frac{b}{x^{2}}\) + cos x
हल:

प्रश्न 11.
4\(\sqrt{x}\) – 2.
हल:

प्रश्न 12.
(ax + b)ⁿ.
हल:
माना f(x) = (ax + b)ⁿ
x के आपेक्ष अवकलन करने पर
f'(x) = n(ax + b)^{n – 1} \(\frac{d}{d x}\)(ax + b)
= n(ax + b)^{n – 1} . a
= na(ax + b)^{n – 1}.

प्रश्न 13.
(ax + b)ⁿ (cx + d)^m .
हल:
माना, fx= (ax + b)ⁿ (cx + d)^m

प्रश्न 14.
sin (x + a).
हल:
माना f(x) = sin (x + a)
x + a को u रखने पर
f(x) = sin u
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
f'(x) = \(\frac{d}{d x}(\sin u)=\frac{d}{d u}(\sin u) \frac{d u}{d x}\)
= cos u. \(\frac{d}{d x}\) (x + a) = cos (x + a) 1
∴ \(\frac{d}{d x}\) sin (x + a)= cos (x + a).

प्रश्न 15.
cosec x cot x.
हल:
माना f(x) = cosec x cot x
∵ (uv)’ = u’v + uv’
∴ f'(x) = (\(\frac{d}{d x}\) cosec x) cot x + cosec x \(\frac{d}{d x}\) (cot x)
= (- cosec x cot x) cot x + cosec x (- cosec² x)
= – cosec³ x – cosec x cot² x.

प्रश्न 16.
\(\frac{\cos x}{1+\sin x}\)
हल:
माना

= \(\frac{-(1+\sin x)}{(1+\sin x)^{2}}\)
= – \(\frac{1}{1+\sin x}\).

प्रश्न 17.
\(\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}\)
हल:

प्रश्न 18.
\(\frac{\sec x-1}{\sec x+1}\)
हल:
माना

प्रश्न 19.
sinⁿx
हल:

प्रश्न 20.
\(\frac{a+b \sin x}{c+d \cos x}\)
हल:

प्रश्न 21.
\(\frac{\sin (x+a)}{\cos x}\).
हल:

प्रश्न 22.
x⁴(5 sin x – 3cos x)
हल:

प्रश्न 23.
(x² + 1)cosx.
हल:

प्रश्न 24.
(ax² + sinx)(p + q cosx).
हल:

प्रश्न 25.
(x + cos x)(x – tan x).
हल:

= (1 – sin x)(x – tan x) + (x + cos x)(1 – sec² x)
= (1 – sin x)(x – tan x) – (x + cos x) tan²x.

प्रश्न 26.
\(\frac{4 x+5 \sin x}{3 x+7 \cos x}\).
हल:

प्रश्न 27.
\(\frac{x^{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)}{\sin x}\).
हल:

प्रश्न 28.
\(\frac{x}{1+\tan x}\).
हल:

प्रश्न 29.
(x + sec x) (x – tan x).
हल:

प्रश्न 30.
\(\frac{x}{\sin ^{n} x}\).
हल:
माना

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